在数与形之间行走

2015-11-28 07:45崔静赵震周卫红
小学教学参考(数学) 2015年11期
关键词:数与形数形结合思想

崔静 赵震 周卫红

[摘 要]数形结合思想是数学中的一个重要思想。通过让学生观察图形与算式,促进学生能从不同的角度思考问题,能把数形结合思想迁移到解决实际问题中,体会到数与形的完美结合。

[关键词]数与形 数形结合思想 以形助数 以数解形

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068(2015)32-019

数形结合思想是一种重要的数学思想,可以说涉及数学学科的各个领域。我国著名数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好,隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。数形结合主要指的是数与形之间的一种对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”等抽象思维与形象思维的结合,使复杂问题简单化,抽象问题形象化。

“数与形”是人教版小学六年级上册教材第八单元“数学广角”中的内容。《义务教育数学课程标准》(2011年版)在原有基础知识、基本技能的基础上增加了基本思想,基本活动经验,这体现了数学教学中培养学生数学素养的重要性。本课内容主要是通过观察图形与算式,让学生发现规律解决问题,在此基础上再次创新,从不同角度思考问题,指导学生运用数形结合的思想解决实际问题,帮助学生积累经验。

在数与形的教学过程中,我进行了一次尝试,带领学生行走在数与形之间。

片段一:灵活应用教材,感悟数缺形时少直观

教材上的呈现方式如下图,教学目标只要求学生通过观察图形和算式寻找规律。图形和算式的指向性非常明确,学生无需太多的思考便能解决。这种观察性的学习缺乏个性活动经验。

教材是实现课程目标的有效载体,但是如果教师只停留在照本宣科上,恐怕学生获得的只是单纯的知识,而隐藏在学习过程中的思维经验的积累就被忽视了。所以需要教师设计开放性、有过程的教学环节,充分调动学生的思维。

师(出示1+3+5+7+9+11和6×6):哪位同学能很快算出结果?

生:6×6=36。

师:一个简单,一个复杂,结果却相同,这里面有什么秘密吗?刚才我们都是从数的角度分析,现在我们换个角度,借助图形来帮助我们研究怎么样?

师:由6×6你能想到什么图形?

生:一个大的正方形。

师(课件出示图1):如果我们用一个小方格代表1,那么这一行就画了6个,共画了这样的6行,也就是用6×6来表示。记得刚才1+3+5+7+9+11也得36。这个算式你们能在方格纸上用画图的方式表示出来吗?请你先想一想、再动手试一试。

生1:我是一个一个接着画的。(如图2)

师:她是按照数的顺序依次一行一行地画出来。

生2:我发现1和11能凑成12,3和9能凑成12,5和7也能凑成12,所以3个12就是36。(如图3)

师:这位同学有了规划的意识,能把数字分成组,也清楚地表达了算式的意思。

生3:可以这样拐着弯画,我觉得这样画更清楚。(如图4)

生4:我喜欢用数字表示,这样也能让人看清楚数字在哪里。(如图5)

师:你们更喜欢哪一种呢?生3的作品好在哪里?

生:这种更能一目了然地看出规律。

师:这样不仅清楚地表示出数,而且还容易发现规律。咱们班同学可是非常了不起的,千万别小瞧这幅图形,小小正方形在你们的笔下演绎着与以往不同的精彩。在这幅图形里,除了6×6这个大正方形,还存在其他的正方形吗?会不会也有这样的算式和它对应着呢?请你找一找。

生:1=1×1,

1+3=2×2,

1+3+5=3×3,

1+3+5+7=4×4,

1+3+5+7+9=5×5,

1+3+5+7+9+11=6×6,

……

分析与思考:这个环节并不是直接让学生去观察,而是给学生搭建了自主探索的空间,教师给学生提供了探究的素材,在学习的活动中充分调动了学生的原始认知水平,让他们在动手画图的过程中感悟形中有数,数中有形的数形结合的方法,同时也体会了研究数学问题的方法,享受学习的过程,提高了数学思维能力。学生在汇报想法的过程中逐层深入,由浅入深地发现和认识正方形的特点,感受数与形内在的奇妙之处。

片段二:创造性地使用教材,感悟形少数时难入微

在我们的教材上,关于数与形的问题,大部分内容都是集中在用图形帮助分析数,而缺少“以数析形”的素材,如何才能在教学中让学生感受到形少数时难入微呢?

师:我们学过线段,也了解了数对,如果我们把线段和数对联系在一起,会有什么发现呢?

生1:我能看出这两个点的位置。

生2:我能知道这条线段的长度是4个格,但是我不知道它的具体长度,因为没有单位。

生3:我还能知道它是一条水平的线段。

师:有了数对,我们知道了两个端点的位置;有了数,我们可以知道线段的长度(依据8和4);有了数,我们可以知道这是一条水平的线段(依据3和3)。

师:你们知道这两条线段的位置关系吗?

生4:这两条线段是平行的。

生5:下面的线段向上先平移了3个格,再向左平移了1个格。

师:有了数据的帮助,我们不仅能判断线段的特点,还能知道两条线段的关系。

师:下面的这两条线段平行吗?

(学生一开始异口同声地说“平行”,停顿数秒即刻又说“不平行”)

生6:那个是8.1,只有是8才平行。

生7:如果平行的话,它们纵坐标的数值应该是相等的,可是现在相差了0.1。

师:光用眼睛看不行,有数据我们才能准确判断。有时候眼睛也会欺骗人,有句古话说得好,失之毫厘,谬以千里。

分析与思考:虽然简单的几条线段都是学生熟悉的,但是利用联系的观点看问题对于学生来说是第一次。学生通过研究与梳理,构架起知识之间的网络,积累研究数学的方法和策略,在思考、交流的过程中真实感受到数据对图形细致入微的刻画。

通过经历与尝试,学生发现“形”的问题中包含着“数”的规律,“数”的问题也可以借助“形”来解决。教学时,通过学生的自主探究、合作交流,既让学生充分利用图形来表示数的规律性,感受化数为形的简洁性,又让学生寻找图形中所包含的数的规律,用数(或代数式)来表示图形,建立模型,感受化形为数(或代数式)的概括性。在此基础上再次创新,从不同角度观察、发现新的规律。学生在解决问题的过程中体会到数与形的完美结合,有效培养了学生的观察、抽象及概括能力。

真实的经历和体验,让“数缺形时少直观,形少数时难入微”悄然植入学生的头脑中。

(责编 金 铃)

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