巧用一次函数图像解决实际问题

□江苏省苏州市平江中学校 翁余

巧用一次函数图像解决实际问题

□江苏省苏州市平江中学校 翁余

数与形是数学学习与研究永恒的话题，它们就像是一个硬币的两个面。形是数的载体，数是形的内涵。因此，对于数与形的研究，我们不能割裂地来看待，必须使其有机结合，使问题迎刃而解。

数形结合 函数图像 变式问题

在初中数学教学中，我们常常强调“数形结合”，通常指的是“以数助形”或是“以形解数”，即利用数与形的有机结合，使得原本抽象、复杂的问题变得简单、具体。下面,结合自己的教学实践与体会，笔者以运用一次函数图像解决实际问题为例一探数形结合之妙用。

一、利用函数图像解决实际问题的价值所在

把实际场景转化为函数图像的过程，实质上就是建立了知识间的关联，形成了知识的迁移，因而对发展和优化学生的认知结构十分有益。同时，在学生分析与解决问题的过程中，画函数图象是十分重要的步骤，它可以促进学生能更好地思维，使他们学会有序推理和抽象思维。与此同时，画图思考的过程还促进了数学与其他学科的联系。

二、利用一次函数图像解决实际问题的应用分析

【例1】（1）自凌晨0点起至中午12点整，时针和分针重合几次？

（2）它们第二次相遇是在什么时间？

【分析】（1）建立如图所示直角坐标系，横轴代表时间，纵轴代表时针(分针)转过的角度。由于时针每12小时转一圈即转360°，所以代表时针的一次函数图像一定经过（0，0）和（12，360），从而得到代表时针的一次函数图像。分针1小时转一圈即转360°，所以1点整的时候代表分针的一次函数图像经过（1,360），2点整的时候代表分针的一次函数图像经过（2,360）……以此类推，同样可以得到代表分针的一次函数图像。在同一直角坐标系中分针与时针图像共有11个交点，即代表它们相遇了11次。（2）由图像知分针与时针第二次相遇在2点至3点之间，此时，y时针=30x，y分针=360x-720，交点坐标为），所以第二次相遇的时间为2点分。

【例2】若A、B两站间的路程为500km,甲速20km/h,乙速为30km/h，甲乙两车分别从A、B两地同时出发。

（1）若两车相向而行，几小时后两车相遇？

（2）若两车相向而行，问经过多少小时他们相距100km？

（3）若两车同向而行，问经过多少小时他们相距100km？

【分析】在函数关系式y=kx+b中，|k|即车速，b为函数与纵轴交点的纵坐标。（1）建立如图1所示平面直角坐标系，则y甲=-20x+500，y乙=30x，交点（10,300），所以两车相向而行，10小时后两车相遇。（2）两车相距100km，应该包含两种情况：①两车相遇前相距100km；②两车相遇后相距100km，用数学表达式可以归纳为：|y甲-y乙|=100。把（1）中的两个函数关系式代入求解即可。（3）与第（2）小题的区别是运动方向由“相向而行”改为“同向而行”，根据题意原来甲乙之间距离为500km，同向而行后相距100km，那么只可能速度快的乙在后，而速度慢的甲在前，因此建立如图2所示平面直角坐标系，得到：y甲=20x+500，y乙=30x，代入|y甲-y乙|=100，从而得到答案：两车同向而行，经过40小时或60小时他们相距100km。

【例3】路边有一路灯杆AB，小明手中拿着一把长为1米的米尺，在灯光下，在点D处测得竖立的米尺影长DE=2m。

（1）若此时测得米尺离路灯底部的距离BD=10m，求路灯杆AB的高度。

（2）若小明沿DB方向继续前行5米到达点G处，此时测得竖立的米尺影长HG=1m，求路灯杆AB的高度。

【分析】以E为坐标原点建立如图所示直角坐标系，（1）很明显E（0，0）、C（2，1），所以直线CE：y=x，而点A横坐标为12，代入解析式可以求出纵坐标为6，即灯杆AB的高度为6米。（2）由F（7，1）、H（6，0）得直线FH：y=x-6，它与直线CE交点A的坐标为（12，6），因此灯杆AB的高度为6米。

三、利用图像解决实际问题的教学思考

在初中阶段培养学生利用“数形结合”的方法观察、分析问题，对发展数学思维也有非常大的帮助，学生将终生受益。