圆柱滚子轴承多体接触动力学研究

第一作者姚廷强男，博士，副教授，硕士生导师，1979年生

通信作者黄亚宇男，教授，硕士生导师，1962年生

圆柱滚子轴承多体接触动力学研究

姚廷强,黄亚宇,王立华

(昆明理工大学机电工程学院,昆明650093)

摘要：考虑滚子和套圈、滚子和保持架、保持架和引导套圈的动态接触关系，提出了机械系统中圆柱滚子轴承多体动力学分析的新方法。基于圆柱套圈滚道的三角网格模型，实现了圆柱滚子和套圈滚道的动态接触力的预测搜索算法，进而建立了计及润滑摩擦作用和Hertz接触作用的圆柱滚子轴承的三维多体接触全动力学模型。运用广义-α方法计算分析了不同工况条件下圆柱滚子轴承的动态特性和保持架的稳定性，获得了不同工况下轴承的运动轨迹、角速度、滚子和倾斜扭转振动、动态接触力，拖动力和相轨迹等动态响应的变化规律。计算结果表明低速或较小径向力下，滚子和保持架的拖动力相对较小且不稳定，滚子和保持架侧梁、外圈挡边之间存在明显的频繁接触冲击作用，内圈中心的振动位移相对较大，保持架中心的径向平面运动轨迹形成不稳定的近似圆周运动，圆柱滚子轴承的运动稳定性相对较差。随着转速或旋转径向力的增加，保持架中心的径向平面运动轨迹为圆周运动和单周期的相轨迹运动，保持架中心的轴向振动明显，滚子倾斜扭转振动相对较小。

关键词：接触动力学；圆柱滚子轴承；多体系统动力学；保持架

基金项目：国家自然科学基金项目(11002062,11462008); 云南省应用基础研究基金项目(KKSA201101018)

收稿日期：2013-12-11修改稿收到日期：2014-03-27

中图分类号:TB115

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.07.003

Abstract:Considering the dynamic contact relationship between rollers, rings and cage, a new method was brought out for multibody dynamics analysis and dynamic design of cylindrical roller bearings in mechanical systems. Based on triangular mesh models of ring races, a searching algorithm for prediction of dynamic contact force was introduced. A three dimensional multibody contact dynamics model of cylindrical roller bearing was constructed in consideration of lubrication friction and Hertz contact.The dynamic characteristics and stability of cage were calculated by using generalized-α algorithms under different conditions. The results of trajectory of motion, angular velocity, tilt and torsional vibration of rollers, dynamic contact-impact force, drag force and phase diagram were presented. Under low speed or small radial force, the motion of cylindrical roller bearing is unstable. The drag force is relatively small and unstable, there’re frequent contact-impact between rollers, cage and rings, the vibration displacement of inner’s center is relatively large, the radial plane motion of cage is unstable and in approximate circular form. With the gradual increase of the angular speed or rotating radial force the radial plane motion of cage becomes a motion with stable circle and single period phase locus, the axial vibration of cage is obvious and the tilt and torsional vibration of rollers are relatively small.

Multibody contact dynamics for cylindrical roller bearing

YAOTing-qiang,HUANGYa-yu,WANGLi-hua(School of Mechanical and Electric Engineering, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650093,China)

Key words:contact dynamics; cylindrical roller bearing; multibody system dynamics; cage

圆柱滚子轴承内部运动学、动力学关系复杂，尤其是圆柱滚子与保持架、保持架与套圈引导面之间的动态接触关系，具有典型的线接触非线性特点。机械系统动力学研究中通常将圆柱滚子轴承简化为等效弹簧阻尼单元的结合部力学模型，如何处理系统中各轴承处的刚度和阻尼、动载荷是一个难题。如何深入分析研究考虑保持架的圆柱滚子轴承的动态性能及系统动力学特性成为进一步提高滚动轴承系统的工作性能及可靠性的关键所在[1-3]。

国内外学者基于套圈控制理论假设，主要运用拟动力学方法和有限元方法，研究分析圆柱滚子轴承的静、动态载荷特性和保持架的径向平面运动轨迹。通常将圆柱滚子轴承简化为二维平面模型或三维有限元模型，忽略圆柱滚子和保持架的倾斜和动态接触冲击，与轴承实际运转状态有一定的差异。张志华等[4-5]建立了圆柱滚子轴承的二维拟动力学模型，分析研究了保持架运动规律。苏敏等[6]运用二维拟静力学模型，研究了薄壁圆柱滚子轴承的载荷特性。陈於学等[7-8]采用二维拟静力学模型，研究了圆柱滚子轴承在径向载荷作用下的动载荷分布。Harris[9]系统地讨论了Hertz接触理论在静载、动载、局部变形和游隙是否存在等条件下在圆柱滚子轴承分析中的应用。Zhao等[10-11]建立了圆柱滚子轴承的2D有限元模型，计算了轴承内部的载荷分布。Rubio等[12]利用Algor分析了忽略保持架接触冲击的圆柱滚子轴承的动态特性。徐弘毅等[13]运用ANSYS/LS-DYNA研究了圆柱滚子轴承的双线性材料塑性变形模型和应力状况。童宝宏等[14]利用ANSYS/LS-DYNA分析了不同轴颈倾斜角下圆柱滚子轴承的动态接触特性。Gupta等[15]建立考虑因素众多的圆柱滚子轴承动力学模型，分析了动态载荷和保持架的质心运动轨迹。刘秀海[16]在Gupta研究的基础上计算分析圆柱滚子轴承的保持架的打滑和稳定性。张风琴等[17-19]运用ADAMS多体动力学仿真软件，开发建立了考虑柔性保持架的圆柱滚子轴承拟动力学模型，仿真分析了轴承的动态载荷和保持架的运动轨迹等结果。陈小安等[20]考虑套圈结构弹性变形，分析了电主轴用角接触球轴承的动刚度特性。姚廷强等[21-22]基于系统动力学理论，在忽略和考虑保持架和润滑影响的两种情况下，建立球轴承三维多体接触动力学模型，分析研究了球轴承动力学特性。

大多数研究模型主要考虑圆柱滚子轴承的平面运动，较少运动自由度或忽略保持架接触冲击影响。作者从系统动力学观点出发，考虑各零件的全部运动自由度，圆柱滚子、套圈和保持架的三维动态实际接触关系，建立圆柱滚子轴承多体接触全动力学模型，计算分析其动力学特性，为考虑圆柱滚子轴承的机械系统动力学分析和动态设计提供一种有效的新方法。

1圆柱滚子轴承动态接触关系

1.1广义坐标的选择

1.2套圈滚道表面的三角网格模型

圆柱滚子轴承的套圈滚道方程与圆柱表面方程相同，套圈滚道表面的运动相对于套圈中心是不变的。套圈滚道表面上的任意点参数方程为

(1a)

(1b)

式中:lc为滚道有效长度，nc为滚道有效长度的分段数，k为有效长度的第k段，di，De分别为内外套圈的滚道直径，φ为套圈滚道的圆周分布角。

圆柱滚子轴承的套圈滚道三角网格模型与球轴承的类似[21]，此处不再累述。忽略轴承的结构弹性变形，在套圈体坐标系下，套圈滚道表面的三维坐标离散点的位置和方向是不变的，由此构成三角网格单元的相对位置和方向也是不变的。

1.3圆柱滚子和套圈的动态接触关系

圆柱滚子轴承中滚子和套圈滚道的动态接触关系是润滑摩擦作用和Hertz线接触关系。当运转状态下滚子在滚道上发生倾斜时，滚子与套圈滚道的相互作用力沿着滚子母线方向是变化的。运用切片法将滚子分成m个圆片，由线接触计算公式，分别计算每个圆片段与套圈滚道的相互作用力和力矩。

图1　圆柱滚子与外圈滚道的接触力学模型 Fig.1 The contact model for rollers and outer race

图1为圆柱滚子与外圈滚道的相互作用示意图。在外圈体坐标系下滚动体j与外圈滚道表面的三角单元s几何中心Pn的相互作用关系为

(2a)

(2b)

由式(2a)和式(2b)得滚动体j质心与外圈滚道表面的三角单元s的相对位置矢量为

(3a)

(3b)

由圆柱滚子与套圈滚道的相对位置矢量可知，圆柱滚子与三角网格单元的相互作用实质上转换为圆柱滚子与内圈、外圈的相互作用关系。

(4a)

(4b)

为方便讨论，定义r‴w为圆柱滚子与套圈的三角网格单元s的法向相对距离，rw为圆柱滚子的参数化半径。当r‴w≥rw时，圆柱滚子与套圈滚道无接触作用，接触预测程序跳过接触力计算程序；当r‴w

δ=rw-r‴w

(5a)

圆柱滚子轴承中滚子与外圈挡边的最小间隙为

(5b)

(5c)

1.4滚动体和保持架的动态接触关系

图2圆柱滚子与保持架的动态位置关系。在保持架兜孔坐标系下，滚子质心与矩形兜孔中心的位置矢量为

(6)

图2　圆柱滚子与保持架 的动态位置关系 Fig.2 The contact model for balls and cage

圆柱滚子轴承中滚子与矩形兜孔的最小间隙为

(8a)

滚子和保持架受到的流体动压产生的接触切向作用力分量分别为

(8b)

式中η0为润滑油在大气压下的动力粘度，Dr为滚子直径，va，vb分别为滚子和保持架的切向速度。h为圆柱滚子与保持架兜孔间的油膜厚度。

(9)

(10a)

(10b)

1.5保持架和套圈的动态接触关系

图3　保持架与外圈引导面的关系 Fig.3 The relationship of cage and outer guidance surface

由于考虑滚子、保持架和套圈的动态接触关系的圆柱滚子轴承动力学性能，保持架具有六个自由度，要比二维平面简化模型分析复杂得多。在圆柱滚子轴承运转过程中，外圈引导面与保持架的外圆柱面在润滑油作用下将产生流体动压作用和Hertz接触作用，可将套圈与保持架间的相互作用等效处理为短滑动轴承问题[16,21]。

图3为保持架与外圈的引导模型。在惯性坐标系下外圈与保持架的质心位置关系为

对于圆柱滚子轴承而言，在径向平面内外圈的引导面与保持架的外圆柱面间的相对位置变动量为

(12)

外圈的引导面与保持架的外圆柱面间的间隙为

hco=Cg-Δco

(13)

式中hco为外圈的引导面与保持架的外圆柱面间的间隙，Cg为圆柱滚子j与保持架兜孔的半径间隙，Cg=(Dgo-Dgc)/2，Dgo、Dgc分别为外圈引导面和保持架引导面的直径。

当hco≥Δ0时，引导面与保持架的外圆柱面间仅存在流体动压作用，而无Hertz接触作用，可将引导面与保持架的外圆柱面间的流体动压作用力等效为短滑动轴承作用力。

(14)

式中Vco为保持架与外圈的相对速度，Lg为引导面的宽度。

当hco<Δ0时引导面与保持架的外圆柱面间同时存在流体动压作用力和Hertz接触作用力。此时Hertz接触弹性变形为

δco=hco-Δ0

(15)

2圆柱滚子轴承动力学模型

在套圈体坐标系下，基于罚函数法的动态接触力显示表达式，可得圆柱滚子与套圈之间发生Hertz接触作用时的接触力表达式。

(16a)

(16b)

在润滑摩擦下，圆柱滚子和套圈滚道之间的摩擦力为润滑油的拖动力，可由接触区域内的拖动系数和法向接触力来计算摩擦力。

(17)

在保持架体坐标系下，滚子与兜孔的法向接触力和切向摩擦力为

(18)

(19)

式中μcr为滚动体和保持架兜孔的摩擦系数，由于滚动体和保持架兜孔的滑动较大，μcr可取为常数。

采用切片法处理保持架倾斜，计算各个接触的分段圆的作用力。在保持架体坐标系下，保持架定心表面与外圈引导面的法向接触力和摩擦力为

(20a)

(20b)

则保持架定心表面受到外圈引导面的作用力为

(21)

由圆柱滚子轴承各零件的动态作用力可以计算出在不同坐标系下的作用力矩，由于篇幅限制，此处省略。

(23)

(24a)

(24b)

(24c)

(24d)

首先确定轴承零件的几何结构参数和运动条件的初始值，滚子轴承各零件由集中质量和惯量描述，几何结构参数由相应的表面方程描述。计算滚子的分段圆和套圈滚道的三维离散点坐标值，由此可以计算以离散点为顶点的三角网格单元的法向矢量和位置。由于三维离散点是在刚性套圈的体坐标系计算的，所以在动态接触计算过程中，无需更新三角网格单元相对于体坐标系的位置。通过各零件的相对位置及运动参数的计算，获得各零件的相互接触时的相对渗透量表达式，对相对渗透量进行偏微分计算，得到接触力和阻尼力的作用方向，由动态接触关系式计算作用在各零件上的作用力和力矩。根据轴承的约束代数方程，运用Matlab软件编制动力学分析的广义-α法，计算约束雅可比矩阵和拉格朗日乘子，轴承零件的新位置和加速度等结果，对圆柱滚子轴承动力学的微分代数方程组(DAE)进行积分求解，得到各瞬时点的位置和运动参数，可得圆柱滚子轴承的动态结果，计算流程如图4所示。

图4　滚子轴承计算流程图 Fig.4 The algorithm flowchart of roller bearing

3圆柱滚子轴承动力学分析实例

考虑滚子和套圈、滚子和保持架、保持架和引导套圈的动态接触关系，建立圆柱滚子轴承三维多体接触全动力学模型，分析研究不同工况条件下滚子倾斜扭转，保持架的运动轨迹和接触冲击等复杂的动力学特性，为考虑滚动轴承动态性能的机械系统的动态设计和动力学分析提供新的方法。

3.1计算边界条件

以NU306为例，外圈宏观静止，内圈旋转且受径向力，内外圈滚道直径分别为40.587 mm和66.613 mm，滚子直径和数目为13 mm和12个，圆柱滚子有效长度11.5 mm。保持架外径为59 mm，内径为51 mm，外圈引导的保持架引导间隙值为0.6 mm，兜孔为10.2×11.18 mm。圆柱滚子与套圈的接触刚度为Kci=Kco=7.2E5 N/mm1.1，径向游隙为26 um。润滑油为4109航空润滑油[21]，动力粘度η0为0.033 pas，粘压系数α为1.28E-8 Pa-1。

3.2圆柱滚子轴承多体接触动力学计算结果

图5~图7为内圈受旋转径向力Fr=300 N，转速为ni=1 800 r/min，有、无保持架的圆柱滚子轴承的动力学计算结果。图5为有、无保持架的圆柱滚子轴承内圈中心的运动轨迹和动态接触力结果。对比分析可知，内圈中心运动轨迹是圆形的，考虑保持架全自由度和动态接触关系的圆柱滚子轴承内圈中心的运动轨迹波动较为明显，动态接触力也存在着较为明显的接触冲击特性，说明保持架对圆柱滚子轴承的动态性能有着重要的影响。无保持架的接触力计算结果与文献[7]的计算结果具有较好的一致性。图6为滚子自转角速度和保持架的角速度。未考虑保持架时圆柱滚子轴承运动平稳，滚子有稳定打滑运动，角速度无波动变化。滚子公转角速度为708.8 r/min，理论公转角速度为711.6 r/min自转角速度的仿真结果3405.2 r/min，由套圈控制假设计算的理论角速度为3 482 r/min，打滑率为2.21%。由于润滑油的拖动，旋转径向力作用和保持架的接触碰撞的影响，考虑六自由度的保持架的影响时，圆柱滚子有周期变化的打滑运动，自转角速度是周期变化的，圆柱滚子的自转角速度在-3 404.3 r/min到-3 115.2 r/min之间周期变化。幅值在±145 r/min内变化，且最大值接近无保持架的角速度值。保持架稳定运动时公转角速度为682.5 r/min到712.6 r/min之间微幅近似周期变化。保持架运动还存在明显的冲击振动现象，公转角速度存在明显的冲击波动变化，角速度较低(约为583.4 r/min)，相对于理论公转角速度711.6 r/min，瞬时打滑较为严重。

图7为滚子和套圈、保持架侧梁的作用力。摩擦力相对较小，与滚子和套圈滚道的动态接触力的变化规律相似。滚子和保持架兜孔的拖动力相对较小且不稳定，滚子和保持架侧梁、外圈挡边之间存在明显的频繁接触冲击作用，且作用力较大，说明圆柱滚子的运动存在倾斜、扭转振动和打滑现象，直接影响圆柱滚子轴承的运动精度和寿命等方面。

图5　内圈中心的运动轨迹和动态接触力 Fig.5 The trajectory of inner center and dynamic contact force

图6　滚子自转角速度和保持架角速度 Fig.6 The angular velocity of roller and cage

不同工况条件对圆柱滚子轴承的动态性能有着重要的影响，保持架的稳定性是高速圆柱滚子轴承突然失效的关键问题之一。图8-图15为计及保持架的影响，不同工况下圆柱滚子轴承的动态特性。本文计算如下4种工况条件：

(1)固定径向力Fr=500 N，ni=0-14 400 r/min；

(2)固定径向力Fr=0-8 000 N，ni=6 000 r/min；

(3)旋转径向力Fr=500 N，ni=0-14 400 r/min；

(4)旋转径向力Fr=0-8 000 N，ni=6 000 r/min；

图7　滚子和套圈、保持架侧梁的作用力 Fig.7 The force of roller, rings and cage

其中变转速以1 800 r/min为基础，变旋转径向力以500 N为基础，以step(…)函数实现等比2倍关系的阶梯递增。固定径向力为内圈中心所受的外力Fex=Fr，且作用力方向与重力方向相同。旋转径向力为内圈中心所受的外力Fexx=Fr·sinωit，Fexy=Fr·cosωit，方向随着内圈转动而变化。

Fr=step(time,0.2,0,0.21,500)+

step(time,0.4,0,0.41,500)+

step(time,0.6,0,0.61,1 000)+

step(time,0.8,0,0.81,2 000)+

step(time,1,0,1.1,4 000)。

ni= step(time,0.05,0,0.1,1 800)+

step(time,0.3,0,0.35,3 600)+

step(time,0.6,0,0.65,7 200)+

step(time,0.9,0,0.95,14 400)

图8为不同工况下圆柱滚子的自转角速度和保持架的角速度。径向力的大小一定，转速增加时，圆柱滚子自转角速度和保持架角速度增加，且变化规律也随转速和径向力的方向变化而改变。转速一定(ni=6 000r/min)时，径向力的方向对圆柱滚子自转角速度和保持架角速度的变化规律的影响较大，而径向力大小的影响较小。

图9和图10为不同工况条件对内圈中心的运动轨迹的影响。分析可知，受固定径向力时，无初始转速和较低转速时，或无初始径向力和较小径向力时，内圈中心的振动位移相对较大些，稳定性相对较差。随着转速的增加，内圈中心稳定在一定区域内微幅振动；随着固定径向力的增加，内圈中心的振动位移先减小后略微增加。考虑旋转径向力的圆柱滚子轴承的动力学特性比只有定值的径向力时的要复杂。常值旋转径向力时，内圈中心的运动轨迹是圆周运动，且随着转速的增加，振动位移略微增加，以±0.024 mm至±0.026 mm为半径，形成平面圆形的带状或三维柱状的运动轨迹。变旋转径向力时，内圈中心的运动轨迹也是圆周运动，且随着径向力的增加，振动位移明显增加，分别以0.023 mm、0.031 mm、0.045 mm、0.071 mm、0.119 mm为半径，形成平面圆环状或三维锥状的运动轨迹。

图8　工况条件对圆柱滚子和保持架的角速度的影响 Fig.8 The rule of angular velocity of roller and cage under different conditions

图9　不同工况下内圈中心的径向平面运动轨迹 Fig.9 The radial trajectory of inner under different conditions

图10　工况条件对内圈中心的径向平面运动轨迹的影响 Fig.10 The rule of radial trajectory of inner under different conditions

图(11-12)为不同工况条件对保持架中心的运动轨迹的影响。对照分析可知，转速对保持架的稳定性有着较大影响。转速相对较低(ni=1 800 r/min)时，由于保持架和滚子的打滑，接触冲击的影响，保持架中心的径向平面运动轨迹形成不稳定的近似圆周运动。随着转速的增加，受旋转径向力时比受固定径向力时的保持架中心的径向平面运动轨迹要更加稳定些，且更快达到稳定的、半径为0.6 mm的圆周运动。当转速ni=6 000 r/min时，保持架中心的径向平面运动轨迹同样是以半径为0.6 mm的稳定圆周运动，此时径向力大小和方向对保持架中心的径向平面的圆周运动的影响较小。

图11　不同工况下保持架中心的径向平面运动轨迹 Fig.11 The radial trajectory of cage under different conditions

图12　工况条件对保持架中心的运动轨迹的影响 Fig.12 The rule of radial trajectory of inner under different conditions

图13　不同工况下保持架中心的三维空间运动轨迹 Fig.13 The rule of three-dimensional space trajectory of cage under different conditions

图14　工况条件对保持架相轨迹的影响 Fig.14 The rule of the space trajectory of cage under different conditions

图15　工况条件对圆柱滚子的倾斜扭转振动的影响 Fig.15 The tilt and torsional vibration of roller

图13为不同工况条件对保持架中心的空间三维运动轨迹。受固定径向力时，保持架中心的空间三维运动轨迹为近似圆周形态，轴向窜动较小，保持架的运动较为稳定。受旋转径向力时，保持架中心的空间三维运动轨迹为近似圆柱形态，轴向窜动较大，说明存在频繁的滚子和保持架，滚子和外圈挡边的接触冲击，保持架的运动稳定相对较差。图14为不同工况条件对保持架相轨迹的影响。初始时低速或低径向力时，保持架的运动为不稳定的混沌响应，相轨迹较为混乱。当转速或径向力增加并稳定在一定的数值下，保持架的运动为单周期的圆周形或椭圆形的相轨迹。图15为不同工况条件对圆柱滚子的倾斜扭转振动的影响。初始时低速或低径向力时，圆柱滚子的倾斜和扭转振动相对较大，容易引起滚子和保持架侧梁，滚子和外圈挡边的接触冲击，从而影响轴承的动态性能和保持架的稳定性。当转速或径向力增加，轴承处于稳定运动状态，圆柱滚子的倾斜和扭转振动很小。受固定径向力时比受旋转径向力时的滚子倾斜和扭转振动要小，且更加稳定。

4结论

考虑保持架全自由度和动态接触关系的圆柱滚子轴承三维全动力学模型更为真实地计算轴承的动态特性。为进一步参数化研究结构参数和工况条件等因素对保持架稳定性的影响奠定了理论基础。

(1)内圈中心的圆周运动轨迹和动态接触力出现较为真实的冲击波动特性。圆柱滚子自转角速度是周期变化的，存在明显的打滑现象。滚子和保持架侧梁、外圈挡边之间存在接触冲击作用。

(2)径向力的大小和方向直接影响内圈的运动轨迹。受固定径向力时，转速或径向力增加到一定程度后，变转速或变固定径向力对内圈中心的振动位移幅值的影响相对较小。受旋转径向力时，变旋转径向力对内圈中心的运动轨迹的影响较大。

(3)低速或较小径向力下，滚子和保持架兜孔的拖动力相对较小且不稳定，保持架中心的径向平面运动轨迹形成不稳定的近似圆周运动，圆柱滚子的倾斜和扭转振动相对较大，保持架的运动为不稳定的混沌响应，相轨迹较为混乱。保持架稳定运动后，其中心径向平面运动为圆周运动和单周期的圆周形或椭圆形的相轨迹，此时径向力大小和方向对保持架中心的径向平面的圆周运动的影响很小。

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