推导匀强电场中导体球的电荷面密度的简单方法

推导匀强电场中导体球的电荷面
密度的简单方法

郑 金

(凌源市职教中心辽宁 朝阳122500)

摘 要：通过推导一个数学结论和电偶极子的场强公式，利用均匀带电球体内部场强公式、等量异号电荷模型、镜像电荷模型和偶极子模型以及等效法和叠加法，对匀强电场中导体球的电荷面密度的关系式给出两种巧妙的推导方法.

关键词：月牙形导体球等效法电荷面密度

收稿日期：(2014-11-14)

对于匀强电场中的导体球的电荷面密度关系式，在电动力学教材和一些物理文献中，是利用拉普拉斯方程和勒让德函数进行推导的，比较高深.下面利用一些等效物理模型和有关数学知识，对匀强电场中的导体球感应电荷面密度关系式给出两种简单的推导方法.

首先推导一个简单的数学结论.如图1(a)所示，两个大小相等的圆不重合，相交于两点M和N，设直线OA偏离中轴线的角度为θ，两个圆心错开的距离为d，月牙弦的长度为h=AB=OA-OB，其最大值为d，最小值为零. 弦长h随直线OA的偏角θ而变化，θ越大，对应的弦长越小，那么弦长h与最大弦长d和偏角θ的数量关系是什么呢？

相交弦同侧的优弧与劣弧围成一个月牙形.两圆心O1与O2连线的中点为O，过点O作径向直线OA交优弧于点A，交劣弧于点B，把线段AB称为月牙弦.

图1

为了求弦长h，需分别求出OA和OB的长度，可通过构造两个三角形利用余弦定理来求.如图1(b)所示，连接O1A，得到一个三角形O1OA，其中半径R=O1A所对的角度即直线OA与月牙形的中轴线的夹角为θ；两圆的公……