实验模态分析快速计算方法与应用研究

谢小平， 姜　彪， 雷　飞

(1.湖南大学 汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙　410082； 2.常州湖南大学 机械装备研究院，常州　213164)



实验模态分析快速计算方法与应用研究

谢小平1,2， 姜彪1,2， 雷飞1

(1.湖南大学 汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙410082； 2.常州湖南大学 机械装备研究院，常州213164)

实验模态分析是振动与噪声学科在工程中求结构动力学特性的一种非常重要的应用，它通过外加激励的实验方法通过被测结构的输入和输出信号求解基于模态坐标的动力学参数[1]。但实验模态分析一般采用离线的方法即依据某一段完整数据进行模态参数识别，数据获取后实验终止。动力学系统在外界复杂激励长时间作用下不但产生振动，而且会产生局部疲劳和动力学参数变化，离线方法无法对该过程进行预测和分析。在线模态分析依据不断更新数据进行模态参数识别，并根据结构动力学参数的变化进行预警，同时主动采取措施进行补救，对大型装备特别是重卡的状态监测和疲劳实验分析具有重要作用[2]。

当前实验模态分析研究主要以离线模式进行模态分析为主，缺少对在线分析进行深入理论研究和工程实现，国内外一些学者也对在相关领域进行了一些前期研究工作。

徐良等[3]使用样条函数对从GPS得到的位移信号进行数值微分，得到精确的速度和加速度信号，并使用ITD方法进行模态分析；李枝军等[4]对悬索桥进行在线模态分析，对系统整体设计、测点布置方案、与离线方法的比较与改进进行详细的阐述，最后通过结构动力特性的变化说明在线方法的有效性。上述研究均采用峰值检测方法，虽然可靠和效率较高，但只能对局部实模态进行识别，有一定局限性。肖祥等[5]、Tasker等[6]将研究重点放在在线工作模态分析上，对依据不间断数据进行特征矩阵重组和快速计算进行深入研究并取得良好效果。但依靠外界自然激励的工作模态分析一般只适应于大型建筑桥梁等低频系统而不适用于重卡驾驶室等较高频率系统。

通过以上的分析，需要建立完整的研究方法和技术手段实现快速实验模态分析，为在线模态分析打下基础。本文提出模型降阶和参数优化相结合的方法实现实验模态参数的快速识别并应用于重卡驾驶室中，取得良好效果。

1基于间接模型降阶方法的系统特征矩阵缩减

间接模型降阶方法是在解决某些大型问题过程中将实际数据组成的矩阵写成有利于缩减的形式并采用数值分析方法进行矩阵降阶的过程。此类方法在数值分析过程中是一种常用方法，一般称为间接模型降阶方法。其简单实用，矩阵形式由具体分析方法所确定[7]。

1.1系统模型与特征矩阵建立

模态分析的系统模型反映系统输入输出状态和误差分布，也是模态参数识别的基础[8]。本文模型重点考虑了激励传递路径上的误差分布情况，并结合输入输出状态进行简化处理。设系统经过快速傅里叶变换(FFT)得到实际用于计算的信号为F(ω)，输入误差为NI(ω)。系统输出端信号为X(ω)其中测量误差为NX(ω)。图中上下标[m]和[Ni]分别表示第m次和第Ni个输入端、第No个输出端的采样数据。系统自由度为No×Ni，传递函数为H(ω)。

频域实验模态分析中，可以认为输入和输出噪声由于产生机理不同可作为互不相关的白噪声。将传递路径和误差项进行简化得到如图1所示简化模型。根据上图得到系统传递函数的矩阵表达式为：

X-NX=H(F-NI)

(1)

H=(X-NX)/(F-NI)

(2)

图1　频域简化模型Fig.1 The frequency domain simplified model

依据以上所得误差模型，采用最小二乘复频域法(LSCF方法，以下称为原有模态参数识别方法)对全自由度全采样数据进行模态参数识别。根据最小二乘法在频率响应函数离散样本点的基础上建立起来系统特征方程[9]。

假设不同自由度的分母多项式相同而分子多项式不同，把频率响应函数H(ω)在频域上离散化并写成分子分母多项式的参数模型为：

k=1…Ns

(3)

式中:β和α分别为分子和分母多项式系数。Ts为采样时间间隔。k代表系统自由度，总自由度为输出和输入通道数之积Ns=No×Ni。r为多项式阶数，最大计算阶数为p，大于或等于系统阶数ps。总频率离散点数(数据量)Na与每行数据量Nf和阶数p的关系为Na=Nf(p+1)。

(4)

式中:wk为权函数，

Φk(ωNf)=-Γk(ωf)Hk(ωf)

进一步展开得到系统特征方程，其简化形式如式(5)所示。

(5)

式中:J为由频率响应函数离散样本点系统特征矩阵[(NfNs)×(Ns+1)(p+1)](行数和列数用×分隔)，并且符合间接模型降阶法的特点，即J作为雅可比矩阵适应于下一步系统参数求解。θ为p阶待识别的参数[(Ns+1)(p+1)×1]。

1.2特征矩阵模型降阶

对于式(5)的求解可以转化为对方程[Γ,Φ-ΔΦ]=0求解的过程。对J进行QR分解得到[8]：

(6)

式(6)右侧对R22进行奇异值分解得到R22=USVH，其中S的奇异值σp对应V的特征向量vp即系统分母多项式θA。采用该QR分解方法浮点数计算量为2Ns3p2Nf。本文提出奇异熵增量准则确定和降低模型计算阶次，提高了以奇异值分解为核心的模态参数识别效率。

奇异谱分析是从有限长的观测序列中提取信息，并基于这些信息预测模型的数值分析方法。奇异谱可表示为：

(7)

式(7)采用奇异谱评估每个大于0的奇异值在整体中的所占比例。由于式中进行了求和运算，使整体随机噪声得到大幅度的衰减。

申农(Shannon)在信息论中把熵作为一个随机事件的不确定性或信息量的度量。根据概率分布函数定义以下信息熵为；

(8)

(9)

(10)

当奇异熵增量导数值趋于零时，对应的奇异谱阶次可认为是计算阶次。

2系统参数综合优化与缩减

2.1特征矩阵参数优化问题提出

通过以上分析可知，间接模型降阶法实现了降低存储空间、提高计算效率的目的。但计算效率是否还有继续提高的潜力，采用怎样的方法进行实现成为以下分析的重点。

在以上采用间接模型降阶法对特征矩阵缩减后，J由正规矩阵K代替进行矩阵运算，使规模为[Jθ]∈(NNs)×(Ns+1)(p+1)×(Ns+1)(p+1)×1的运算转化为[Kθ]∈(Ns+1)(p+1)×(Ns+1)(p+1)×(Ns+1)(p+1)×1的运算。对以上计算过程的分析认为计算效率有进一步提高的空间，原因如下：

(1) 虽然模态参数识别是依据降阶后的矩阵进行运算，但在线分析根据不断刷新的数据进行计算时的主要运算量取决于Nf，因为每行数据量Nf≫p，而原有特征矩阵尽量采用更多的数据构成每行数据量，所以具有在保持计算精度的情况下进一步缩减的潜力。

(2) 阶数p决定求解正规特征矩阵得到模态参数的计算效率，它的确定是模态分析中的一个难点。p必须大于等于系统阶数ps，ps采用以上奇异熵增量准则确定，Nf和p的大小实际取决于所选取样本的的各态历经性，即样本信息是否满足参数识别的要求，但单纯从信号的性质入手无法得出具体的样本选取的大小。

(3) 对于系统自由度Ns而言，各自由度对各阶模态参数和振型的影响是不平衡性、非连续和非平稳的。确定主要模态参数或振型贡献度的阙值，在误差控制的基础上对某些贡献度小于阙值的自由度可以进行缩减。

综上所述，系统有进一步缩减的潜力。由于快速模态分析对计算效率有很高要求，本文提出采用优化的方法对特征矩阵进行缩减。在构造的设计模型基础上，对表征特征矩阵的大小和影响计算效率的参数采用优化设计模型进行表达，以原有精确模态参数为标杆设定控制方程，确定优化设计步骤，采用全局遗传算法进行参数优化。

2.2基于综合参数优化的特征矩阵缩减

根据以上分析，优化问题的思路为在保持计算精度的同时分类处理参数，进行灵敏度分析，缩小参数范围，提高优化的可信度。优化问题求解的具体实施步骤如图2所示。

图2　优化问题求解的具体步骤Fig.2 The steps for solving optimization problems

由于模态分析的计算规模和计算量远小于有限元分析，每次求解原问题的时间均小于30分钟，因此不采用实验设计与代理模型方法，在简化分析流程的同时提高了优化精度。根据上一小节分析结果计算效率主要取决于特征矩阵J和正规特征矩阵K的大小，两者的大小由f、r、k决定。设定优化过程每自由度特征矩阵Γ的大小为ζ=r×f，小于总离散点数Na，Γ的数据由频率响应函数样本点构成。同时根据多体动力学的特点，在单点激励情况下，自由度k大于等于系统阶数ps。综上所述系统参数空间可表示为：

(11)

根据参数空间的描述，优化问题的设计模型可表示为：

优化目标：最小化(minimize)

z(x)=t=z(f,r,k∈)

约束条件(subject to)：

(12)

式中:x代表参数变量，目标函数z(x)为计算时间最小；ps为系统阶数，一般由稳态图进行确定；r的上限可由N和具体算例决定；ζ=r×f≤N表示总的样本数量的约束条件。优化方法的实施需通过控制方程来实现，选择反映计算结果的关键变量与误差范围构成控制方程对优化迭代过程进行控制。由于LSCF方法求得的模态参数解空间包括最终参数模态频率、阻尼比和过程参数友矩阵特征值等不同表现形式。由于金属结构作为研究对象阻尼比很小，容易受到噪声的污染导致出现较大的变化，友矩阵特征值也包含阻尼比的信息。模态频率是结论中最重要的信息，以它作为控制参数设定控制方程为：

eωd≤e,ford=1…dd,1≤dd≤ps

(13)

式中:e为误差区间，应根据具体问题区别设置。d为主要关心的频域范围内的阶数，一般小于系统阶数。优化问题中的步长设置中，r为2，其它为1。

2.3系统自由度综合缩减

系统输出自由度No(在激励输入Ni确定时代表系统总自由度)在以上参数优化问题中是一个独特的参数。实验模态分析中由于数据采集通道数的限制使得输出自由度数量受到限制。同时为了为描述物体整体形状和关键部位的振动，自由度数会相应增加覆盖整个物体并在关键部位相应增加。为了提高模态参数识别的计算效率，可以对自由度即传感器位置进行优化，该优化策略如图3所示。把研究对象分为形状规则和不规则两种物体制定相应优化。无论是否进行有限元模态分析，规则物体的主要模态振型的研究对象为前几阶整体弯曲或扭转模态，所以自由度一般为等间距安排。同时依据物体大小、自由度间距情况和是否存在优化的需求进行判断是否进一步优化。

图3　差异化策略下自由度优化实施步骤Fig.3 Freedom optimization steps under different optimiz

复杂不规则物体自由度优化步骤中首先明确是否进行了有限元模态分析。当已得到有限元模态分析结果时首先进行振型分析，前几阶主要模态振型较大处在传感器位置安排中必须得到体现。同时自由度的安排也必须照顾到形状的节点如3个面的焦点上用以验证有限元分析的正确性。但即使如此也不能保证所有自由度都对最终的结果产生有效的影响，与没有进行有限元模态分析相同，必须进行相应的灵敏度分析，提高优化效率。灵敏度分析可按照下式进行。

(14)

3快速计算方法在重卡驾驶室中的应用

3.1实验与分析对象

实验对象和动态数据采集系统如图4所示，其中对象为原基础车型[10]的改进车型。系统包括4块PXI-4472，共32通道。实验采用电磁激振器对采用轮胎支撑的驾驶室白车身进行激振，激励信号为猝发随机信号。根据该车型形状特征，参考有限元分析结果，结合用户意见采用3轴加速度传感器，选择60个测点180个自由度，比原基础车型模态实验增加22个测点和66个自由度。由于通道数量的限制，采用7次采样，采样频率f=1 024 Hz。为使得离线分析中模态分析精确更高，为参数优化提供参考标准和精确的控制方程，取3次每次16 s信号的平均值，进行N=8 192点快速傅里叶变换，频率分辨率为0.125 Hz，远大于模态频率最小间隔。

根据奇异熵增量准则确定系统阶数ps=15，Nf≈N/(p+1)=512，根据所有180个自由度的所有频域数据组成系统特征矩阵，采用最小二乘复频域法进行模态分析，得到精确的模态参数分析结果，其模态振型如图5(a)所示。取前8阶100 Hz以下模态频率和阻尼比如表2所示。

图4　某重卡驾驶室白车身与动态数据采集系统Fig.4 A heavy truck cab and dynamic data acquisition system in modal experiment

3.2综合参数优化过程

优化目标：计算时间最小化(minimize)

f(x)t=f(r,j,k∈)

约束条件：

16≤r≤48∈even

r≤f≤512

16≤k≤180

ωd≤e,ford=1…8

(15)

图5　某高端最终车型驾驶室白车身模态分析优化过程Fig.5 Modal analysis and optimization process to cab BIW of the high-end final model

根据上节关于自由度缩减的方法，对于驾驶室白车身这种复杂结构在已获得有限元分析结果的基础上设定灵敏度分析阈值为α1=90%和α2=90%，进行灵敏度分析后自由度从180缩减至168，主要包括左右车门周围、后围侧部等处。所得到第一阶模态振型如图5(c)所示。

根据全局遗传算法对整型变量进行优化，采用二进制编码方式，种群大小为80，变异率为0.15，交叉率为0.85。迭代数为89时优化过程停止，得到如表1所示的优化计算结果。

表1　计算效率比较

表2　某高端最终车型驾驶室白车身不同模态分析方法计算结果比较

3.3优化结果对比分析

从表1可知快速识别方法的计算效率提高了约8.5倍，自由度、计算阶数、每行数据量分别降低了21.1%、43.8%、58.6%。同时取样间隔不变，原有频率分辨率是比较合适的。优化后的模态振型如图5(d)所示。

将模态参数快速识别的结果去除刚体模态，得到如表2所示选取前8阶模态频率和阻尼比，并与原有模态参数识别方法求解得到的精确模态参数和有限元模态参数进行对比如表2所示。实验模态分析得到的第1阶模态振型频率为32.4 Hz，振型为鼓包上下振动，和有限元仿真结果的频率32.53 Hz非常接近，但模态振型不完全一致。有限元仿真模态振型主要是驾驶室前围左右振动。我们认为对实际车型的驾驶室中部鼓包处所应增加的横向加强梁位置靠后，导致第一阶模态振型出现较为严重鼓包。应该将横向加强梁往车头方向前移25 mm，结论和刚度分析一致。

4结论

本文详细阐述了采用模型降阶和参数优化相结合的方法实现实验模态分析快速计算的理论推导过程，并将该方法应用于重卡驾驶室白车身中。根据对实验结果的分析，并且和有限元分析结果进行对比，指出该方法是正确和有效的。

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第一作者 谢小平 男，博士，实验师,1978年2月生

摘要：提出联合模型降阶和智能参数优化的方法实现实验模态分析的快速计算。在最小二乘复频域法中采用间接模型降阶法实现系统特征矩阵的降阶。将决定参数识别效率的特征矩阵进行参数化描述并应用遗传算法对优化模型参数进行全局优化和缩减。采用差异化综合策略重点对自由度进行分步优化和缩减。对重卡驾驶室白车身进行实验模态分析快速计算方法的应用并证明新方法对计算效率提高的有效性。该方法为实现连续不间断激励下系统结构动力学特征在线检测和诊断打下了坚实基础。

关键词：实验模态分析；快速计算方法；模型降阶；差异化综合优化；重卡驾驶室

Fast calculation method experimental modal analysis and its application

XIEXiao-ping1,2,JIANGBiao1,2,LEIFei1(1. The State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body, Hunan University, Changsha 410082, China;2. CZ-HNU Institute of Machinery Equipment, Changzhou 213164, China)

Abstract:A method combining the model order reduction and its parameters optimization was proposed to achieve the rapid calculation for experimental modal analysis. The indirect model reduction method was used in least square complex frequency domain to achieve the order reduction of system characteristic matrix. An optimization model was established based on the parametric description of the characteristic matrix. The system’s degrees of freedom were optimized and reduced using the differential integrated comprehensive optimization strategy. The genetic algorithm was used to obtain the global optimization and reduction of parameters. The application of the fast calculation method in the experimental modal analysis of a heavy truck cab’s body-in-white proves the effectiveness of the method and the improvement in computational efficiency. The method establishes a solid foundation for online detection and diagnosis of structural dynamics characteristics under continuous excitation condition.

Key words:experimental modal analysis; fast calculation method; model order reduction; differential integrated optimization strategies; heavy-duty truck cab

中图分类号:TH113.1

文献标志码：A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.24.008

通信作者姜彪 男，硕士,1989年10月生

收稿日期：2014-08-01修改稿收到日期：2014-12-19

基金项目：国家自然科学基金重点项目(11232004);博士学科点专项科研基金(20130161130001)