双相介质弹性半空间垂直界面附近椭圆形夹杂对SH波的散射

齐　辉, 丁晓浩, 赵元博

(哈尔滨工程大学 航天与建筑工程学院，哈尔滨　150001)



双相介质弹性半空间垂直界面附近椭圆形夹杂对SH波的散射

齐辉, 丁晓浩, 赵元博

(哈尔滨工程大学 航天与建筑工程学院，哈尔滨150001)

弹性空间中的各种缺陷对SH波散射影响的研究是弹性波研究领域的基础课题之一，其在复合材料、现代声学、无损检测、地下结构抗震及抗爆等领域都有很重要的研究价值。近几十年来，众多学者对地下复杂地形、缺陷等对弹性波散射的研究已经取得的大量的研究成果[1-9]，但多数成果集中在对全空间、半空间单相介质中波的研究，而对双相介质半空间内SH波散射的研究却很少见[10-13]，双相介质半空间垂直界面附近椭圆形夹杂对SH波散射问题的研究则尚未见到公开发表的成果。

本文采用保角映射、Green函数法、“镜像”法、多极坐标移动法并利用“契合”的思想研究了双相介质弹性半空间内垂直界面附近的椭圆形弹性夹杂对SH波散射问题。首先，通过保角映射的方法将椭圆形夹杂外域映射成单位圆外域，并通过“虚设点源”方法构造出四分之一空间内满足边界条件的散射波场和Green函数，利用“镜像”方法将问题模型转换为全空间模型，从而得到平面波入射时区域Ⅰ内的散射波场，采用界面“契合”的思想在界面上添加附加力系并通过界面处应力和位移连续的边界条件建立了求解未知力系的定解积分方程组，最终求得双相介质半空内的散射波场。本文最后给出具体算例并分析了垂直界面、入射角度、入射波数、介质参数等不同物理参数条件下椭圆形夹杂周边的动应力集中情况。

1问题模型

图1为本文的理论模型，模型共分为三个区域，分别为不包括夹杂的左侧区域Ⅰ，不含夹杂的右侧区域Ⅱ和椭圆形夹杂区域Ⅲ。其中a，b分别为椭圆夹杂的半长轴和半短轴长度，α0为SH波的入射角度，椭圆中心O到垂直界面的距离为d，到水平面的距离为h。图2为通过“虚设点源”方法将四分之一延伸为无限弹性半空间的模型，用以求解四分之一空间内的Green函数。

图1　SH波作用下双相介质半空间理论模型Fig.1 Theoretical model of bi-material half space impacted by SH wave

图2　虚设点源模型Fig.2 Model of dummy point source loads

2Green函数的求解

2.1控制方程

(1)

引入保角映射函数

(2)

式中：R=(a+b)/2 ，m=(a+b)/(a-b)，a，b分别为椭圆的半长轴和半短轴长。

(3)

其对应的应力方程为

(4)

2.2Green具体表达式

在四分之一空间中利用“虚设点源”的方法和多级坐标移动技术可以构造出Green函数入射波场的位移表达式:

(5)

参考文献根据[13]，四分之一空间内椭圆形夹杂产生的散射波具有如下形式：

(6)

其中：

在椭圆形弹性夹杂内所激发的驻波表达式可以写成如下形式：

(7)

在区域Ⅰ中，线源荷载产生的总位移波场为：

(8)

根据椭圆形夹杂边界上的位移和应力连续的边界条件，可得：

(9)

根据文献[11]的方法，将位移和应力表达式代入式(9)在方程两边同乘exp(-imθ)，并在(-π,π)上积分，得到一系列的代数方程组，通过有限项截断求解则可以求出An和Bn。

区域Ⅱ内不存在由夹杂产生的散射波，故：

(10)

3入射波，反射波，折射波与散射波

(11)

式中：γ0=π-α0，α0为SH波入射的角度。双相介质半空间中的反射波和折射波可以分别表示为如下形式:

(12)

(13)

式中：α1，α2分别为双相介质界面处的反射角度和折射角度，α1=-α0，γ1=π-α1，γ2=π-α2。相应的应力代入公式(4)即可求得。

平面SH波入射时由椭圆形夹杂产生的散射波及其内部的驻波具有和前文相同的形式，待求系数的求解方法与Green函数的求解方法一致，此处不再赘述。

4定解积分方程组

(14)

其中：z″=r″exp(iθ″)且z″=z-d。当θ″0=β1=-π/2时0≤r″0≤∞，当θ″0=β2=π/2时0≤r″0≤h。

利用已求得Green函数及界面左右两侧的位移分量和应力分量的对等关系，则可以得到剖分面上的位移连续条件，建立待求附加力系f的定解积分方程组。

G2(r″，β1;r″0，β2)]dr″0+

G2(r″，β1;r″0，β1)]dr″0

(15)

G2(r″，β1;r″0，β1)]dr″0=[-W(S)]θ″0=β2

(16)

式中:G1和G2分别为介质Ⅰ和介质Ⅱ中的Green函数位移表达式。

通过直接离散法并考虑散射波衰减性质，可以将上述方程组转变为线性代数方程组，从而求得附加力系的值。

5动应力集中系数(DSCF)

(17)

6算例及结果分析

图4　SH波水平入射时随的分布情况Fig.4 Distribution of around the elliptic inclusion edge with disturbed by SH wave horizontally

图5　SH波水平入射时随的分布情况Fig.5 Distribution of around the elliptic inclusion edge with disturbed by SH wave horizontally

图6　SH波水平入射时θ=90°处随d/a的变化Fig.6 Variation of (θ=90°) around the elliptic inclusion with d/a disturbed by SH wave horizontally

7结论

[1] Lee V W, Manoogian M E. Surface motion above an arbitrary shape underground cavity for incident SH wave[J]. European Earthquake Engineering, 1995, 8(1): 3-11.

[2] Chen J T, Chen P Y, Chen C T. Surface motion of multiple alluvial valleys for incident plane SH-waves by using a semi-analytical approach[J]. Soil Dynamic and Earthquake Engineering, 2008, 28: 58-72.

[3] 陈志刚，刘殿魁. SH波冲击下浅埋任意圆形孔洞的动力分析[J].地震工程与工程振动，2004,24(4):32-36.

CHEN Zhi-gang, LIU Dian-kui. Dynamic response on a shallowly buried cavity of arbitrary shape impacted by vertical SH-wave[J]. Earthquake Engineering Vibration, 2004, 24(4): 32-36.

[4] 刘殿魁，陈志刚. 椭圆孔边裂纹对SH波的散射及其动应力强度因子[J]. 应用数学和力学，2004, 25(9): 958-965.

LIU Dian-kui, CHEN Zhi-gang. Scattering of SH-wave by cracks originating at elliptic hole and dynamic stress intensity factor[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2004, 25(9): 958-965.

[5] 杨在林，许华南，黑宝平. SH波上方垂直入射时界面附近椭圆夹杂与裂纹的动态响应[J]. 岩土力学，2013, 34(8): 2378-2384.

YANG Zai-lin, XU Hua-nan, HEI Bao-ping. Dynamic response of elliptical inclusion and crack neat interface under vertically incident SH-wave from above[J]. Rock and Soil Mechanics, 2013, 34(8): 2378-2384.

[6] 杨在林，许华南，黑宝平. 半空间椭圆夹杂与裂纹对SH波的散射[J]. 振动与冲击，2013, 32(11): 56-61.

YANG Zai-lin, XU Hua-nan, HEI Bao-ping. Interaction of elliptical and crack under incident SH-wave in a half-space[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32(11): 56-61.

[7] 史文谱，杨洪兰，张春萍，等. 四分之一空间内椭圆孔对SH(shearing horizontal反平面剪切)波的散射[J]. 机械强度，2010, 32(5): 774-780.

SHI Wen-pu, YANG Hong-lan, ZHANG Chun-ping, et al. Scattering of an elliptic cavity in a quarter of plane to SH(shearing horizontal) wave[J]. Journal of Mechanical Strength, 2010, 32(5): 774-780.

[8] 史文谱，陈瑞平，张春萍. 直角平面内弹性圆夹杂对入射平面SH波的散射[J]. 应用力学学报，2007,14(1):154-161.

SHI Wen-pu, CHEN Rui-ping, ZHANG Chun-ping. Scattering of circular inclusion in right-angle plane to incident plane SH-wave[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2007, 14(1): 154-161.

[9] 曹欣荣，宋天舒，刘殿魁. 任意形状凸起地形对平面SH波的散射[J].应用力学和数学，2001, 22(9): 976-982.

CAO Xin-rong, SONG Tian-shu, LIU Dian-kui. Scattering of plane SH-wave by a cylindrical hill of arbitrary shape[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2001, 22(9): 976-982.

[10] 齐辉，杨杰. SH波入射双相介质半空间浅埋任意位置圆形夹杂的动力分析[J]. 工程力学，2012, 29(7): 320-327.

QI Hui, YANG Jie. Dynamic analysis for shallowly buried circular inclusions of arbitrary positons impacted by SH-wave in bi-material half space[J]. Engineering Mechanics,2012, 29(7): 320-327.

[11] Qi Hui, Yang Jie. Dynamic analysis for circular inclusion of arbitrary positions near interfacial crack impacted by SH-wave in half-space[J]. European Journal of Mechanics /A Solids, 2012, 36: 18-24.

[12] Qi Hui, Yang Jie, Shi Yong. Scattering of SH-wave by cylindrical inclusion near interface in bi-material half-space [J].Journal of Mechanics, 2011, 27(1): 37-45.

第一作者 齐辉 男，教授，博士生导师，1963年生

摘要：采用复变函数法和Green函数法研究了SH对双相介质弹性半空间垂直界面附近椭圆形夹杂的散射问题。首先，利用保角映射的方法将椭圆边界外域映射为单位圆外域，得到椭圆夹杂对SH波的散射位移场，并通过“虚设点源”的方法求出四分之一区域内的Green函数；其次，利用界面“契合”的思想，通过在界面上添加附加力系建立待解外力系的第一类Fredholm积分方程组，通过离散的方法并考虑波函数的衰减性将无穷代数方程组进行截断，求出剖分面上的未知外力系。最后，通过具体算例给出了不同参数条件下椭圆形夹杂周边的动应力集中情况。结果表明，垂直界面、入射角度、入射波数、介质参数等因素均对动应力集中系数有一定的影响。

关键词：SH波；垂直界面；椭圆夹杂；保角映射；动应力集中系数(DSCF)

Scattering of SH-wave by an elliptic inclusion near vertical interface in a bi-material half-space

QIHui,DINGXiao-hao,ZHAOYuan-bo(College of Aerospace and Civil Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Abstract:The diffraction of harmonic SH-wave by an elliptic inclusion near vertical interface in a bi-material half-space was considered by using the complex function and the method of Green’s function. The conformal mapping method was used to map the outer boundary of elliptic inclusion into a unit circle in order to construct an expression for the dsisplacement field of scattering wave. With the ridding of image method, the Green’s function in 1/4 space was constructed. The interface “conjunction” technique was utilized to obtain a series of first kind Fredholm integral equations containing unknown forces at the interface. The integral equations were reduced to a system of algebraic equations and solved numerically by using the effective truncation. The numerical results demonstrate that the verticlal interface, incident angle, incident wave number, medium parameters under consideration are indeed capable of effecting the DSCF around the inclusion.

Key words:SH-wave; vertical interface; elliptic inclusion; conformal mapping; dynamic stress concentration factor (DSCF)

中图分类号:O343.1;P315.3

文献标志码：A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.24.013

收稿日期：2014-09-02修改稿收到日期：2014-12-12

基金项目：黑龙江省自然科学基金资助(A201404)