基于符号动力学的倒锯齿映射混沌检测机理研究

杨 汝， 王燕芬， 冯锦澎

(广州大学 物理与电子信息学院， 广东 广州 510006)

基于符号动力学的倒锯齿映射混沌检测机理研究

杨 汝， 王燕芬， 冯锦澎

(广州大学 物理与电子信息学院， 广东 广州 510006)

以混沌系统的参数敏感性和初值敏感性为基础，倒锯齿映射为模型，按照符号动力学原理，建立符号序列空间，计算待测初值和零点的轨道空间距离求得待测值.令恒流源对电容进行充放电，分析设计具体的混沌检测电路，成功地将倒锯齿映射应用到混沌微弱信号检测上.

倒锯齿映射； 符号动力学； 微弱信号检测

混沌研究已经从纯理论研究走向应用研究，在气象学、生物医学、电子学方面取得十分有实用价值的成果[1-3],例如,将确定性混沌技术应用于风速和风力发电机的输出功率预测，使预测时间从几小时扩展到24 h，给风电运营商管理和能源调度提供了决策依据；又如将混沌控制技术应用于自发性癫痫的治疗，有效地抑制它的发作频率；再如混沌同步实现多个Boost变换器均流控制，也取得了初步的效果等.

初值敏感性是混沌的固有特性[4-6]，初值敏感性是指当系统的结构参数稳定时，微小的初值变化就会使其运动轨迹之间呈现指数分离，反而言之，检测运动轨迹之间的差异，就能知道初值的细微变化量.从符号动力学看，初值与系统运动轨迹在一定的时间内是一一对应的，初始值的细微变化量可以采用符号动力学分析方法高精度测量[7-9]，从而可以应用于微弱信号的检测.目前，基于混沌初值敏感性机理对微弱信号检测研究，主要是以Duffing振子、Lorenz振子和倒锯齿映射作为混沌动力学模型，以Duffing振子为模型的混沌检测系统应用在金属探测器[10]，成功判断金属物质的存在,达到检出金属杂质的目的；在超声波液位检测中能提高检测超声波回波信号的精度[11]，为超声波液位检测准确判断液位高度提供了方便；在机械设备的齿轮故障检测中能够检测出齿轮故障的幅值信[12].以Lorenz振子为模型的混沌检测系统为检测微弱正弦信号引出了另一条路[13]；对数值天气转折期预报与气候突变检测、预测给出一种新理论和新方法[14].以倒锯齿映射为模型的混沌动力系统则可以用于微弱信号的直接数字化测量[15]，同时提高测量分辨率和灵敏度.

为此，本文以倒锯齿映射为研究对象，基于符号动力学原理，建立符号序列空间，得到不同的初值下的运动轨道和符号序列；根据待测初值和零点的轨道空间距离计算得到待测值.最后分析设计具体的混沌检测电路，数值仿真和电路实验证明该方法应用在微弱信号检测上不仅电路简单，而且具有灵敏度和分辨率高的特性.

1 倒锯齿映射模型

倒锯齿映射模型也称反移位映射模型[16]，见图1，其经典的迭代关系为

(1)

如果把移位映射的变化范围限制到[0,1],

(2)

特别当参量k=2时，有

xn+1=1-2xn(mod1)

(3)

模运算(mod 1)的意思是，只保留计算结果的小数部分.对于保存在计算机里的二进制数，乘以2相当于向右移位1次.这时字长最右端空出的一位补零，而从左端移进去的(进位)1舍弃不要，即实现模运算(mod 1)，得到的二进制取反加一产生补码.这就是反移位映射的由来.

经过n次迭代后，一维映射的Lyapunov指数λ的的计算公式为

(4)

把式(2)代入式(3)求得λ=lnk,当k>1时，λ= lnk>0，此时该系统处于混沌状态.本系统工作于k=2，此时倒锯齿映射系统为混沌动力系统，其具有对初值条件的敏感依赖性，可用于混沌微弱信号检测.

图1 倒锯齿映射Fig.1 The inverted saw-tooth map

2 一维映射符号动力学

给定区间上一点x0，以x0点为初始点进行迭代，可得到一条轨道：

x0,x1=f(x0),x2=f(x1),…xn=f(xn-1),…

(5)

从图1可见，倒锯齿映射模型有临界点C.若xn落在临界点C的右侧，记为字母R，若落在临界点C的左侧，记为字母L.于是，由轨道(5)可得到一个符号序列[17]

s0s1s2…sn…

(6)

其中，

(7)

对应的自然序L

符号序列的排序规则为[18]

EnL…

(8a)

OnL…>OnC…>OnR…

(8b)

其中,En和(On)分别代表含偶数和奇数个或R或L字母的一串字母.不难看出此排序规则下一切可能的符号序列中最大序列是(RL)∞，而最小序列是(LR)∞；由字母开头的最靠近C的序列是R(RL)∞，而由字母L开头的最靠近C的序列是L(LR)∞.

3 符号序列的轨道距离

规定符号si的指标εi如下：

(9)

则迭代函数(2)可表作

(10)

当k=2时，对上式求逆，可得

(11)

于是，如果x0的符号序列的s0s1s2…sn…不包含C，则上式给出实数x0的如下展开，

(12)

现假设x0∈[0,1]，y0∈[0,1]为相空间中2个不同初值，经过式(2)迭代分别生成不同的2条轨道x1,x2,x3,…xn,…和y1,y2,y3,…yn,…,它们相对应的符号分别为s0s1s2…sn…，λ0λ1λ2…λn…，定义它们的轨道距离为

(13)

当y0=0即零点时，其符号序列λ0λ1λ2…λn…为010101…或(LR)∞，计算x0和零点之间的距离：

(14)

令k=2，将式(13)右边展开后与等式(14)右侧完全相等，因此，

d(x0,0)=

(15)

为了利用倒锯齿映射进行测量，在后面的混沌态电路实现中取k=2.这就是说，只要能得到初值x0相对应的符号序列s0s1s2…sn…，就可按式(15)得到轨道距离，再得到x0的值，实现微弱信号的检测.

4 倒锯齿映射混沌检测分析和实验

4.1 仿真分析

本实验采用倒锯齿混沌检测电路，见图2，其工作原理：刚开始测量时，断开开关K1、开关K2，闭合开关K3，待测电压Us给电容充电，直到电容电压uc=Us，断开K3.当有一个周期T的时钟脉冲到达逻辑电路G时，G控制K2闭合，K1保持断开，电容以-I2的恒定电流开始放电.当放电结束，即uc=0时，比较器翻转，Up从高电平降到低电平，G接收到信号，控制开关K2断开，K1闭合，电容以I1的恒定电流开始充电.当下一个时钟脉冲到来，逻辑电路G控制K1断开，K2闭合，电容开始下一个过程的充电.如此重复，Uc的运动轨迹可以得到一条运动轨道.

倒锯齿混沌检测电路得到电容充放电的电压轨道,见图3.

图2 倒锯齿混沌检测电路
Fig.2 The chaotic detection circuit

图3 倒锯齿映射的运动轨道Fig.3 The motion track of inverted tooth map

根据倒锯齿混沌检测电路和图3可计算出前后时钟周期电容电压xn→xn+1的迭代关系式为

(16)

这是一个倒锯齿映射模型函数.

倒锯齿映射迭代多次后，根据轨道(2),符号序列(5),定义sn的符号为

(17)

把(17)式带入(16)式得到：

(18)

(19)

假设初值x0，y0=0经过倒锯齿映射后生成的2条轨道对应的符号序列为s0s1s2…sn…，λ0λ1λ2…λn…=010101…，其轨道距离d(x0,0)为

(20)

只要测得x0对应的符号序列就可以求出检测电路的待测初值Us为

(21)

当取T=0.3 ms，C=2.2 uF，I2=-1.1 mA，I1=2.2 mA时，量程Um=0.3 V，xc=0.15 V，用matlab软件编程对系统进行数值仿真.可得到电容两端的混沌态电路和符号序列测量结果如下：

电路参数保持不变，表1的待测初值信号Us与轨道距离d的线性关系，见图4.

从图4可见，待测初值与实测值是相同的，待测初值Us在区间[0，Um]内，Us和符号距离d是接近线性关系，在这个区间测量倒锯齿映射混沌检测电路的线性度很高.取得位数越高，线性度越好.

4.2 实验验证

图5是倒锯齿混沌检测电路实验电路图.

表1 Matlab仿真结果

图4 待测初值信号Us与轨道距离的线性关系

Fig.4 The linear relationship between the initial valueUsand orbital distance

模拟开关采用高速的电子开关MAX333CPP，比较器采用LM393，电容C取2.2 uF，充电电流I1=2.2 mA，放电电流I2=-1.1 mA，脉冲采用单片机定时的方式设置时钟周期T=0.3 ms，充放电的逻辑转换用单片机STC89C51编程实现.倒锯齿映射的数值仿真轨道和实验轨道,见图6～9.

从图6～9可见，电路实验结果和仿真结果高度接近，电路实验得到的符号序列和利用公式(21)计算得到的实验结果见表2.对比表1和表2，实验结果得到的测量值与仿真结果一样，误差低于0.1%，而且符号序列位数越高，实验结果越精确.此外，若取10位符号序列,即N=10，则测量时间t<2*N*T=3 ms, 因此具有一定的时效性.

从测量的结果看，倒锯齿混沌检测电路可以实现高精度测量信号初值电压，同时测量符号序列位数越多，测量的精度越高.当符号长度为10位时，实验误差的计算公式如下：

δ=1/210<0.1%

(22)

由表2也可观察实验的误差在0.1%以内.

与AD转换相比，若在取相同数字信号位数N的前提下，倒锯齿混沌检测电路可具有更高的分辨率.设定倒锯齿混沌检测电路各个参数使检测满量程为0.3 V时，倒锯齿混沌检测电路的分辨率为0.3 V×(1/28)≈1.17 mV，而AD转换芯片量程都是5 V.因此,AD转换芯片的分辨率为5 V×(1/28)≈19.5 mV.倒锯齿混沌

图5 实验电路图Fig.5 The experimental circuit diagram

图6 混沌轨道仿真图Fig.6 Simulation chaos orbits

图7 混沌轨道实验图Fig.7 Experimental chaos orbits

图8 初始值为Us4=135.42 mV时的混沌轨道仿真图Fig.8 Simulation chaos orbits at Us4=135.42 mV

图9 初始值为Us4=135.42 mV时的混沌轨道实验图Fig.9 Experimental chaos orbits at Us4=135.42 mV

UsUs/mVε0ε1ε2…ε9实验结果/mVUsUs/mVε0ε1ε2…ε19实验结果/mVUs117．10010110111116．9921Us266．66011011011066．5039Us3183．721100100110183．6914Us4266．411011011000266．3086Us5135．420010011011135．3516Us5135．4200100110110110111010135．4199

检测电路的分辨率由取的符号序列位数跟量程共同确定；AD转换的分辨率只能通过选取不同数字信号位数的芯片来改变其分辨率.根据式(15)，倒锯齿混沌检测电路可以通过改变放电电流I2、时钟脉冲周期T和电容大小C来改变测量量程的大小；倒锯齿混沌检测电路可以通过取不同位数的符号序列来改变测量分辨率，如取7位、10位或20位等，而AD转换却不能，AD转换只可以选定芯片固定的8的位数的数字信号，如8位和16位等，可以说在选定AD转换芯片时，其分辨率已经是确定的.因此，倒锯齿混沌检测在输出的数字信号位数相同时，不仅比AD转换的分辨率要高很多，而且可以更灵活的使用，可根据测量信号的要求改变测量分辨率.尤其在用于检测微弱信号时，比传统AD转换的检测精度高，倒锯齿混沌检测的不足之处是转换速度没有AD快.因此，倒锯齿混沌检测电路主要用于微弱信号检测.

5 结 论

本文基于符号动力学的内容，对倒锯齿映射混沌检测机理进行分析，揭示了倒锯齿映射模型应用在微弱信号检测的本质.数值仿真证明倒锯齿映射模型在混沌微弱信号检测中能实现高精度的测量，实验证明了倒锯齿映射模型在混沌微弱信号检测的可行性.符号动力学的优越性，与传统AD转换相比位数更多，有更高、更灵活的测量分辨率.

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【责任编辑： 陈 钢】

The chaos detection mechanism of inverted sawtooth map based on symbolic dynamics

YANG Ru, WANG Yan-fen, FENG Jin-peng

(School of Physics and Electronic Engineering, Guangzhou University, Guangzhou 510006, China)

Based on the sensibility of the parameter and the initial value of chaotic system, the proposed method begins from inverted saw-tooth map and builds the symbolic sequence space according to symbolic dynamics. The measured value can be calculated by the space distance of two tracks including the initial value and the zero point. The constant current source is used to charge and discharge the capacitor, and the analysis and design of the chaotic detection circuit is applied to detect the weak signal.

inverted saw-tooth map; symbolic dynamics; weak signal detection

2016-07-18;

2016-09-28

国家自然科学基金资助项目(51277035)；广东省自然科学基金资助项目(2014A030313528)

杨 汝(1971-),女,教授,博士.E-mail:yangru@gzhu.edu.cn

1671- 4229(2016)06-0039-08

TN 911.23