双师同堂：“平行与垂直”教学纪实与反思

吴正宪　佟宁宁　郑玉捷

教学内容：人教版义务教育教科书四年级数学上册第56～57页。

教学目标：

1.在分类活动中建立“平行”与“垂直”的表象，并能够正确地辨析“平行”和“垂直”这两种位置关系。

2.在探究“平行”与“垂直”的过程中，培养学生的想象能力，从而进一步发展学生的空间观念。

教学重点：正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。

教学难点：理解有相交趋势的两条直线的位置关系和异面直线的位置关系。

教学流程：

一、课前对话，感知“互相”

佟老师：孩子们，你们还认识我吗？（认识。）谁知道我的名字？

生：您叫佟宁宁。

佟老师：你怎么知道我的名字的？

生：听我班老师跟别的老师聊天知道的。

佟老师：看来听别人聊天还能知道很多事儿。

佟老师：他认识我了，知道我叫什么了，咱们现在算不算互相认识？

生：不算。

佟老师：为什么？

生：因为您还不知道我的名字。

佟老师：你说说怎么才能算是互相认识。

生：我认识你，你也认识我，这样才算互相认识。

佟老师：你愿意让我认识你吗？（愿意。）介绍一下自己，好吗？

生：我叫小然。

佟老师：小然你好。（互相握手。）现在咱们两个算不算互相认识了？

生：算。

佟老师：同学们，通过我跟小然刚才的对话，你们觉得什么是“互相”？

生：“都”认识，你和对方，对方和你。

佟老师：除了“互相认识”，你还知道“互相什么”。

生1：互相帮助。

生2：互相理解。

佟老师：不管是“互相”认识，还是“互相”理解，都是几个人的事儿？

生：两人或者两人以上。

佟老师：我们为什么要聊“互相”呢，那是因为我们这节课的知识就与“互相”这个词儿有关系。（板书：互相。）

吴老师：这节课除了佟老师，还有吴老师。我和佟老师跟你们一起学数学。

二、回顾旧知，导入新课

佟老师：刚刚我们说“互相”是两个人的事儿。这节课我们所说的不是两个人，而是两个它。（课件出示：直线。）认识吗？知道它有什么特点吗？

生：直线，它没有端点，可以向两端伸长。

佟老师：（把直线向两端伸长一点儿。）可以了吗？

生：不可以。

佟老师：怎么回事？

生：还可以延长。

佟老师：（把直线再向两端延长一点儿。）这样可以了吗？

生：不可以。

佟老师：（把直线一直延长到屏幕尽头。）这肯定可以了。

生：不可以。

佟老师：怎么回事儿？到头儿了，还不行？

生：因为还有更大的纸，就可以画很长，一直画下去，无限延长。

佟老师：说的真好。除此之外，直线的摆放位置可以横着放、竖着放、斜着放，想怎么放都可以，可是不管怎么放，它都是“直线”。（课件出示：直线各种摆放位置。）

佟老师：这节课，我们就来研究两条直线的位置关系。（板书：两条直线的位置关系。）

三、借助分类，建立表象

1.任意画出两条直线。

佟老师：老师课前给每个同学都发了一张纸。现在需要同学们在这张纸上任意画出两条直线。

（两位教师共同巡视，挑选：直接相交、垂直、延长后相交、平行的作品贴到黑板上。）

佟老师：黑板上这些作品放着有点乱，能不能试着给它们分分类？先自己想一想，再跟同桌商量一下。

2.认识“相交”和“平行”。

佟老师：谁来把你的分法跟大家交流一下？

生1：我把“连接”在一起的分为一类，“不连接”在一起的分为一类。

（当生1按照自己所说的分类方法，移动黑板上的作品进行分类时，吴老师对其他同学说：“看清她是怎么分的了吗？分了两大阵营。”）

生1：这边是不连接的，那边是连接的。

吴老师：什么是连接？

生1：“连接”就是粘在一块儿了。

吴老师：（用手势帮助学生理解。）“连接”就是粘在一块儿了，“不连接”就是没粘在一块儿，明白了吧？

佟老师：粘在哪儿了？你能把它画出来吗？（画出“交点”。）

佟老师：连在一起了，就是相交。按“相交”和“不相交”来分的。

佟老师：课前我们说直线有什么特点？（向两端无线延长。）延一延，试一试。（找一名学生到黑板前，选择没相交的线进行延长。）

吴老师：这名同学选择了4号，在她画好之前，大家闭上眼睛想一想，如果是两条直线的话，一会儿会怎么样？伸出手来试一试。a线在这儿呢，b线在那儿呢。（学生用手在空中画这两条线。）一会儿这两条直线就会怎么样？

生齐：相交。

（学生在黑板上延长完毕。）

佟老师：延长后，两条线交上没？应该放在哪儿？

生：交上了，应该放在相交的一类。

佟老师：（拿出1号。）想象一下这幅，又会怎样？

生：又会相交。

吴老师：是的，又会相交。同学们，好好看看这些不交的，还有谁延长就会交上了？想好了，就喊出来。

吴老师：9号会交吗？

（大部分学生说：“会！”有一名学生说：“不会！”）

吴老师：（满脸笑容。）你说不会，那你来画一下！

（学生在吴老师和佟老师的帮助下，在这张纸旁边又加了一张纸，把这两条直线进行延长后，自言自语“交了”。）

吴老师：（亲切搂住这名学生。）你说什么？交没交？

生：交了。

（把所有相交的移走后，就剩下了10号，全班同学都认为，无限延长后也不能相交。吴老师又从学生作品中选出了一幅13号。）

吴老师：真的不交？谁不信？谁试一试？

（找一名学生到黑板前，向两边分别延长13号的两条直线。）

吴老师：怎么样？

生：不相交。

吴老师：（吴老师用自己的动作，帮助学生想象这两条直线超出黑板范围后，继续延长，仍然不相交。）那咱们就画到那头儿去，交不交？（不交。）画到那头儿去，交不交？（不交。）两条线画，画，画……总是不交？（是。）

佟老师：13号能放到相交的一类吗？应该跟谁放到一类？

生：13号和10号，延长后不相交，放到一类。

佟老师：（面向学生。）你们同意吗？

生：同意。

吴老师：你们就这么同意了？能不能画“站起来”的两条线，不相交。

（一名学生到前面用直尺画。当这名学生在直尺一侧画完一条直线，想要移动直尺时。）

吴老师：不移动这个尺子，行吗？（学生疑惑。）

吴老师：不动尺子，再画一条线。

（学生认真思考后想到：不移动尺子，在尺子的另一侧画出另一条直线，这两条直线不相交。）

吴老师：谁能画两条“躺着的线”？

（学生能够熟练地运用直尺画出两条不相交的直线。）

佟老师：通过刚才的讨论，我们已经把黑板上所有的作品分了“相交”和“不相交”两类。（边说边完成集合圈。）不相交的这类，我们就叫它“互相平行”。（板书：相交和互相平行。）

3.认识“互相垂直”。

佟老师：在这么多“相交”的作品中，你能不能找出特别的？

生：有的作品“相交”成一个角。

佟老师：想象这几幅作品中的两条直线继续延长，会怎样？（交叉。）还是一个角吗？（不是。）出现几个角了？（4个。）所有这些都会出现4个角吗？（会。）

佟老师：都有4个角，快看看4个角中有没有特殊的。

生：其他的都是钝角和锐角，第7幅里面有直角。

（这名学生运用三角板测量7号作品的4个角，都是直角。）

吴老师：真的很佩服你。在这么多的图形中，一眼就能找到7号跟别的不一样，能看到7号有个直角，而且，你会用直角板找到一个又一个直角，一共有几个？（4个。）

吴老师：我找到了1个直角，我就说找到了4个直角。我这么说有道理吗？（没有。）

吴老师：这事儿慢慢去想。（吴老师拿着三角板又操作了一次。）我找到一个直角，就说另外3个都是直角。

（这时，有一个女学生点头并站起来赞同了吴老师的说法。）

吴老师：谢谢你支持我。

吴老师：除了7号，这里面还有特殊的情况吗？（找了一名一直没发言的女生到台前。）

吴老师：（伸手递过三角板。）用吗？

女生：不用。

（女生找出了一幅有直角的作品。）

佟老师：只用眼睛看，就能确定它是直角吗？

女生：不能。

佟老师：用借助工具吗？

女生：用。

佟老师：快去取啊！（女生马上回到了吴老师处，准备取三角板。）

吴老师：你要不用，你能保证吗？

女生：不能。

吴老师：有了它，你能保证吗？

女生：能。

（学生把有相交成直角的作品找出来。）

佟老师：这样相交成直角的两条直线，我们称为“互相垂直”。

佟老师：互相垂直的这几幅作品，我们放在相交的圈外，行不行？

生：不行。

佟老师：为什么不行？

生：因为它们是一类的。

佟老师：哪类？

生：相交，相交中特殊的情况。

佟老师：特殊，你们都相交成锐角和钝角，我相交成直角。但我还是相交，所以要放在圈内。怎么表示它特殊啊？

生：给它圈上。

（老师完成集合圈。）

4.用手势表示“相交”“平行”“垂直”。

佟老师：如果用我们的两条手臂代表两条直线，你能做出“相交”“平行”和“垂直”这几种关系吗？

5.处理“异面”。

（老师与一名学生用手臂做出了不在同一平面内的两条直线。）

佟老师：这两条直线永远也不会相交，它们是平行吗？

吴老师：（拿出学生画作品用的两张纸。）一条在这个面儿上，一条在那个面儿上，是我们这节课研究的吗？（不是。）

佟老师：像这样在两个面儿上，不相交的两条直线，不叫平行，叫异面直线。（板书：异面直线。）

佟老师：异面直线在我们的生活中其实也是很常见的，比如，我们经常看到的过街天桥。（出示图片。）这就是异面直线，不相交，也不平行。因为它们不在同一平面。而我们这节课研究的是在同一平

面内两条直线的位置关系。（板书：在同一平面内。）

四、看书自学，对接经验

佟老师：我们已经知道了什么样的两条直线是“平行”和“垂直”，书中对于这两个知识给出了怎么样的定义呢？请同学们自学教科书56～57页。（结合黑板上的分类，讲解平行和垂直的含义及读写法。）

（判断两条直线位置关系的练习。）

吴老师：两条直线是“平行”和“垂直”的就说出来，不是的不出声。

（判断结束后，教师总结。）

佟老师：为什么吴老师让同学们只说出“平行”和“垂直”这两种关系呢？因为这是在同一平面内，两条直线很重要的两种位置关系。（板书课题：平行与垂直。）

师总结：这节课，我们先在纸上任意地画出两条直线，然后把这些作品进行分类，边分边讨论，边分边想象。我们知道了同一平面内两条直线的位置不是相交就是平行，相交中还有一种相交成直角的特殊情况，我们称为互相垂直。

反思：

自从哈尔滨市平房区成立了吴正宪工作站分站，我便成为其中一员。从那一刻起，我开始学习吴正宪的儿童教育思想与教学策略，并尝试着在课堂上像吴老师那样去营造宽松的学习氛围，放手让学生质疑、对话、互动，努力让我的学生也能感受到“好吃而又有营养”的数学。但常常掌控不好火候，有时怕完不成教学任务“放不开”；有时“放开了，收不回来”课堂效率低，教学难点未突破……这些问题令我很困惑和迷茫。这次有幸与吴老师同台上课，收获颇丰，也引发了一些思考。

一、备课中要多想一想核心目标

以往，我在备课时总会先去想“本节课的知识点是什么”。却很少再往深一层次想“通过这节课培养学生的核心素养是什么”。比如，通过分类让学生掌握在同一平面内两条直线的位置关系有相交和平行，这是本节课的知识目标；而核心素养是帮助学生建立两条直线位置关系的空间观念。这节课中，吴老师抓住很多细节之处切入教学，培养学生空间观念，落实数学素养目标。吴老师多次让学生进行想象，并用手势、动作来表示，帮助学生建立空间观念。这些细节的处理，让我感受到吴老师不仅是在教知识，而且关注数学的核心素养。“核心素养”看不见、摸不着，但它却是数学大餐中最有“营养”、最本质的东西。它应是我们每节课前首先要考虑的问题，须要我们在每节课的知识建构过程中逐渐渗透与培养。

二、教学关键处多一些追问

这节课让我感受到吴老师的教育机智，尤其是能够快速读懂学生，巧妙地进行追问，引发学生深入思考。如，在分类的教学环节，一名学生说：“连接的分一类，没连接的分一类。”当时，我就想怎么才能引导出“相交”这个词呢？吴老师则不急于引导，而是让学生自己来解释“什么是连接”。孩子说“粘在一起”就是“连接”。此时，吴老师暗示我接着追问：“粘在哪了，你能把它画出来吗？”吴老师顺势把课堂还给我，让我接着教学“相交”和“交点”等概念。这时，教学概念就容易了，因为学生已经在前面的操作与对话中理解了概念，虽然学生的语言很生活化，但是形象生动。我们总觉得自己说的学生才能懂，书上的定义才最标准，于是急于过早用定义来描述数学概念，学生理解困难。吴老师曾说：“严格的数学孩子听不懂，听得懂的数学往往不太严格。”的确是这样，往往用学生稚嫩的语言才能更好地帮助学生理解，也更容易让学生听懂。而在学生理解的基础上，老师再用数学语言来归纳、描述，学生就很容易接受。

三、教学难点处多一点儿等待

万物生长，都需要一个过程。学生对于问题的思考，知识的内化同样也需要时间，不要急于把答案和盘托出，等一等，再等一等。比如，这节课中吴老师设计了让学生借助工具画平行线环节，这是教学的难点。当学生用直尺画了一条后，想要移动直尺画另一条时，吴老师把着直尺说：“不移动这个尺子，行吗？”学生没有理解老师的意思。这时，下面学生已经跃跃欲试，但吴老师依旧重复说：“不动尺子，再画一条线。”几秒钟的等待换来了学生的顿悟，学生想到沿着尺子的另一侧画就可以了。对学生的教育需要等待，静待花开。花开放的时间不同，自然等待的时间也不同。有的时候，我们甚至须要等很久，但是，不要急，我们可以先把种子种上，慢慢浇水、施肥，总会豁然开朗的。

通过与吴老师“双师同堂”让我感受到了大师的睿智，更感受到了吴正宪的儿童数学教育思想的真谛，同时也感受到自身的不足与问题。“知不足，然后能自反也。”今后，我将以提升学生的核心素养为目的设计课堂教学，学会倾听和等待，增强儿童积极探索实践研究的意识，不断提高自己教学实践能力，努力使自己成为一名更加优秀的数学教师。

编辑∕宋 宇