“数学圆”模型在电磁学中的应用

江苏 李胜强

“数学圆”模型在电磁学中的应用

江苏 李胜强

缩放平移间尽显物理动态之美。

圆是数学中的重要概念之一，在物理学中也有其特殊的作用和价值。本文结合实例阐述“缩放圆”“平移圆”“动态圆”在物理学中的应用，进一步培养学生用数学方法解决物理问题的能力，同时加强对解题技巧和解题思路的构建。

一、“缩放圆”模型在电磁学中的应用

【情景2】如图2所示，带正电的粒子（不计重力）从正方形磁场边界AB边M点垂直磁场进入，恰好从A点离开，此过程经历半个圆周。现增大粒子的速度，使其经历个圆周到达N点，继续增大粒子的速度，使其到达D点，比较可知：随着速度v增大，半径R也增大，经历的时间t却缩短。

【情景3】如图3所示，带电粒子（不计重力）从x轴上的P点垂直进入磁场经历轨迹①从y轴离开，要想让带电粒子经历轨迹②从y轴离开，则应减小带电粒子的速度。同理可知，经历轨迹③和轨迹④时带电粒子的速度更小，但时间却越来越长。

【例1】如图4所示，垂直纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点，一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场，现设法使该带电粒子从O点沿纸面与Od成30°的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是 （ ）

D.若粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ab边射出

【答案】AC

二、“动态圆”模型在电磁学中的应用

【情景1】如图6所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。P为屏上的一个小孔，PC与MN垂直。一群质量为m、带电量为-q的粒子（不计重力）以相同的速率v沿不同的方向从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域，可能的偏转轨迹如图7所示。由轨迹图可知：v的方向不同，磁偏转的偏转角不同，打到屏MN上的点也不同，即圆周运动的弦长也不同，但圆的半径和周期是不变的。故打到屏MN上最远的点应为经历半圆周偏转的位置，即2R处。

【例2】如图9所示，MN是磁感应强度为B的匀强磁场的边界。一质量为m、电荷量为q的粒子在纸面内从O点射入磁场。若粒子速度为v0，最远能落在边界上的A点。下列说法正确的是 （ ）

A.若粒子落在A点的左侧，其速度一定小于v0

B.若粒子落在A点的右侧，其速度一定大于v0

【答案】BC

三、“平移圆”模型在电磁学中的应用

【情景1】如图10所示，等腰三角形PQR内有一垂直纸面向里的匀强磁场B，质量为m、电量为q、速度为v0的大量带正电的粒子沿平行线垂直射入磁场，且∠RPQ＝30°。粒子经过PQ中点垂直进入磁场时轨迹恰好与PR边相切，已知PQ长度为6d，求粒子在磁场中运动的最长时间的区域范围时可将半圆周向右平移2d，即在4d的空间内都偏转半个圆周。

【例3】利用如图11所示，装置可以选择一定速度范围内的带电粒子。图中板MN上方是磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上有两条宽度分别为2d和d的缝，两缝近端相距为L。一群质量为m、电荷量为q，具有不同速度的粒子从宽度为2d的缝垂直于板MN进入磁场，对于能够从宽度为d的缝射出的粒子，下列说法正确的是 （ ）

A.粒子带正电

C.保持d和L不变，增大B，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大

D.保持d和B不变，增大L，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大

【答案】BC

【感悟】应用数学方法处理物理问题的能力是高考考查的五种能力之一，“数学圆”模型在高中物理中的应用侧重圆的构建。当带电粒子的速度大小不变而速度方向不确定时，应考虑“动态圆”；当带电粒子的速度方向确定而速度大小不确定时，应考虑“缩放圆”；当带电粒子的速度大小和方向都确定，但入射点不确定时，应考虑“平移圆”。总之，要结合具体的物理情景作出对应的判断，才能以不变应万变。

即时演练

1.（多选）如图所示，宽为L的平行虚线间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，MN与磁场边界垂直。从M点向虚线右侧沿任意方向发射不同速度的带负电粒子，发现所有粒子都从N点离开磁场。已知粒子质量为m，电荷量为-q，重力不计，粒子从M点发射时的速度方向与cd边的夹角为θ。下列说法正确的是 （ ）

A.粒子经N点的速度方向与ab边所夹锐角为θ

C.速度越小的粒子，θ角越大

D.粒子从M运动到N的时间t最短为

参考答案

（作者单位：江苏省郑集高级中学城区学校）