与曲线运动、功和能相关的STS问题

河南 王春旺

与曲线运动、功和能相关的STS问题

河南 王春旺

科学建模，热点归纳。

曲线运动、功和能是高中物理中与实际结合比较紧密的知识点，通过对近几年高考中STS热点问题的研究，归纳出高考对曲线运动、功和能考查的STS热点问题，抛砖引玉。

一、跳远——向上的斜抛运动

【例1】如图1所示，假设跳远运动员离开地面时速度方向与水平面的夹角为α，运动员的成绩为4L，腾空过程中离地面的最大高度为L，若不计空气阻力，运动员可视为质点，则tanα等于 （ ）

图1

【答案】C

【点评】建立运动模型，把跳远运动视为向上的斜抛运动，是正确解答的关键。向上的斜抛运动，可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动，分别列出水平方向和竖直方向两个方程解答。根据题干给出的条件，选项还可以分别设置为运动员腾空时间，运动员起跳的速度等。

二、卫星Wi-Fi服务——万有引力与航天的应用

【例2】（2015·鄂豫晋陕冀五省联考）美国一家科技公司提出了一个“外联网”（Outernet）计划，准备发射数百个小卫星，向全球提供免费Wi-Fi服务。若这些小卫星运行时都绕地心做匀速圆周运动，则下列说法正确的是 （ ）

A.小卫星的质量越大，所需要的发射速度越大

B.小卫星的轨道越高，所需要的发射速度越大

C.小卫星运行时的轨道半径越大，周期越大

D.小卫星在轨道上做匀速圆周运动时，受到的万有引力不变，向心加速度不变

【答案】BC

三、“深穴打夯机”——功和能与力的综合

【例3】（2015·河北正定中学月考）如图2是建筑工地上常用的一种“深穴打夯机”示意图，电动机带动两个滚轮匀速转动将夯杆从深坑提上来，当夯杆底端刚到达坑口时，两个滚轮彼此分开，将夯杆释放，夯杆在自身重力作用下，落回深坑，夯实坑底。然后两个滚轮再将夯杆压紧，夯杆被提上来，如此周而复始（夯杆被滚轮提升过程中，经历匀加速和匀速运动过程）。已知两个滚轮边缘的线速度恒为v，夯杆质量为m，则下列说法正确的是 （ ）

A.夯杆被提上来的过程中滚轮先对它施加向上的滑动摩擦力，后不对它施力

B.若增加滚轮匀速转动的角速度或增加滚轮对杆的正压力可减少提杆的时间

C.滚轮对夯杆做的功等于夯杆动能的增量

【答案】B

【点评】解答有关摩擦力问题时，一定要注意分析是滑动摩擦力还是静摩擦力。凡是匀速运动的装置对以速度为零开始加速的物体，施加的摩擦力一定是滑动摩擦力，二者之间一定有相对滑动，且相对滑动距离为Δx＝x2-x1＝vt/2。当物体速度与装置速度相等后，若水平运动，二者之间没有摩擦力；若竖直运动，则二者之间有静摩擦力，且静摩擦力的大小等于重力。

【解析】夯杆被提上来的过程中滚轮一直对它施加向上的滑动摩擦力，后匀速运动施加静摩擦力，A项错误；若增加滚轮匀速转动的角速度，可增大向上匀速运动的速度，减少提杆的时间；若增加滚轮对杆的正压力可增大滑动摩擦力，减少加速提杆的时间，B项正确；滚轮对夯杆做的功等于夯杆动能的增量加重力势能的增量，C项错误；在加速上提过程中，加速时间t内，夯杆上升x1＝vt/2，滚轮滚动距离x2＝vt，二者相对滑动Δx＝x2-x1＝vt/2。向上运动的加速度a＝v/t。由牛顿第二定律f-mg＝ma，一次提杆过程系统共产生热量

四、“快乐向前冲”——平抛运动与圆周运动完美结合

【例4】（2015·温州十校联考）某电视台“快乐向前冲”节目的场地设施如图3所示，AB为水平直轨道，上面安装有电动悬挂器，可以载人运动，水面上漂浮着一个半径为R，角速度为ω，铺有海绵垫的转盘，转盘的轴心离平台的水平距离为L，平台边缘与转盘平面的高度差为H。选手抓住悬挂器可以在电动机的带动下，从A点下方的平台边缘处沿水平方向做初速度为零，加速度为a的匀加速直线运动。选手必须作好判断，在合适的位置落下，才能顺利落在转盘上。设人的质量为m（不计身高），人与转盘间的最大静摩擦力为μmg，重力加速度为g。

（1）假设选手落到转盘上瞬间相对转盘速度立即变为零，为保证他落在任何位置都不会被甩下转盘，转盘的角速度ω应限制在什么范围？

（2）若已知H＝5m，L＝8m，a＝2m/s2，g＝10m/s2，且选手从某处C点释放能恰好落到转盘的圆心上，则他是从平台出发后多长时间释放悬挂器的？

（3）若开动悬挂器恒定功率600W运行，选手从静止运动2s后到第（2）题中所述位置C点释放也能恰好落到转盘的圆心上，选手质量为50kg，悬挂器在轨道上存在恒定阻力，求阻力的大小。

【解析】（1）只要他落在转盘边缘不被甩下，则落在转盘其他地方肯定不被甩下。假设人落在转盘边缘也不被甩下，最大静摩擦力提供向心力，则有，

（2）设水平加速段位移为x1，时间为t1；平抛时水平位移为x2，时间为t2。

全程水平方向位移满足x1＋x2＝L

代入已知量数值，联立以上各式解得t1＝2s。

解得f＝200N。

【点评】此题以电视台“快乐向前冲”节目的场地为情景，意在考查圆周运动、机械能守恒定律、牛顿运动定律、平抛运动及其相关知识。若第（2）问只要求落在转盘上，则需要根据平抛运动最小位移和最大位移两个临界条件，分别列出相关方程得出最小t1值和最大t1值。

五、高速公路出口——圆周运动中的功和力

【例5】（2015·洛阳联考）某高速公路的一个出口路段如图4所示，情景简化为：从此处驶出的汽车（图中未画出）先进入长度为150m、落差为5m的斜坡AB，然后通过一段路面水平的圆弧路段BC，最后经过一段长度为180m的平直路面CD至收费口。现有一辆总质量为5 000kg的汽车，以60km/h的速度匀速通过斜坡道路AB和圆弧路段BC，重力加速度g＝10m/s2。

（1）若汽车在斜坡AB上受到的阻力是车重的0.04倍，试求汽车驶过斜坡AB过程中发动机所做的功。

（2）汽车在水平路面上转弯时由车轮与路面间的横向静摩擦力提供向心力，设横向最大静摩擦力为车重的倍，为保证行车安全，圆弧路段BC的半径应满足什么条件？

（3）如果汽车到达C处司机关闭发动机，驶入平直路面CD受到的阻力为车重的0.05倍，而后继续前行到适当位置时开始踩刹车，阻力变为车重的0.55倍，直至收费口D刚好停下，试求：司机应在距离收费口多远处开始踩刹车？

【解析】（1）汽车在下坡过程中受到重力、支持力、阻力f＝kmg＝0.04mg及牵引力的作用，动能的变化量为零；由动能定理可得mgh＋WF-fL＝0；代入数据解得WF＝kmgL-mgh＝0.04×5 000×10×150J-5 000×10×5J＝50 000J＝5×104J。

（3）汽车在平直路面CD上行驶受到的阻力f1＝k1mg＝0.05mg，刹车后阻力为f2＝k2mg＝0.55mg，刹车前车的加速度a1＝f1/m＝k1g＝0.5m/s2；刹车后加速度a2＝f2/m＝k2g＝5.5m/s2；设司机在离D点x米处刹车，刹车时速度为v，根据匀变速直线运动规律，则有，联立解得x＝9.8m。

（作者单位：河南省洛阳市第二中学）