巧用v-t图象速解“变速类”问题

江苏 秋 飏

巧用v-t图象速解“变速类”问题

江苏 秋 飏

巧借图象搭桥，优化解题过程。

在近几年各地高考中，出现了一类变速问题。过程变化复杂，利用解析法分析比较麻烦，而且题型为选择题，需要大家在短时间内作答，所以要另辟途径巧用图象。为此本文就此类问题归类讲解，希望读者掌握方法并灵活运用。

一、巧用v-t图象比较物体运动的时间

【例1】如图1所示，甲、乙两物体分别从A、C两地由静止出发做加速运动，B为AC中点，两物体在AB段的加速度大小均为a1，在BC段的加速度大小均为a2，且a1＜a2。若甲由A到C所用时间为t甲，乙由C到A所用时间为t乙，则t甲与t乙的大小关系为 （ ）

A.t甲＝t乙

B.t甲＞t乙

C.t甲＜t乙

D.无法确定

【解析】由本题所给条件，可巧用图象法求解。画出甲、乙运动的v-t图象，如图2所示，可得t甲＞t乙，B项正确。

【答案】B

【例2】（2014·上海高考）如图3所示，竖直平面内的轨道Ⅰ和Ⅱ都由两段细直杆连接而成，两轨道长度相等。用相同的水平恒力将穿在轨道最低点B的静止小球，分别沿Ⅰ和Ⅱ推至最高点A，所需时间分别为t1、t2；动能增量分别为ΔEk1、ΔEk2，假定球在经过轨道转折点前后速度大小不变，且球与Ⅰ、Ⅱ轨道间的动摩擦因数相等，则 （ ）

A.ΔEk1＞ΔEk2，t1＞t2

B.ΔEk1＝ΔEk2，t1＞t2

C.ΔEk1＞ΔEk2，t1＜t2

D.ΔEk1＝ΔEk2，t1＜t2

【解析】小球从最低点到最高点受到摩擦力做功Wf＝μmgcosαL＝μmgx水平，与斜面倾角无关；水平拉力为恒力，水平位移相同，所以拉力做功相等，根据动能定理可知，两球到达A点时的速度相同，动能相等，A、C项错误；将小球的运动看作直线运动，画出其速率随时间变化的图象，如图4所示，可知，沿Ⅱ轨道运动的小球先到达，B项正确。

【答案】B

【例3】（2013·广东高考）如图5所示，游乐场中，从高处A到水面B处有两条长度相同的光滑轨道，甲、乙两小孩沿不同轨道同时从A处自由滑向B处，下列说法正确的有（ ）

A.甲的切向加速度始终比乙的大

B.甲、乙在同一高度的速度大小相等

C.甲、乙在同一时刻总能到达同一高度

D.甲比乙先到达B处

【解析】在曲线上任取一点，作切线，设切线与水平方向成的锐角为θ，则切向力为mgsinθ＝mat，可以看出甲的切向加速度一直减小，乙的切向加速度一直增大，在B点，就有甲的切向加速度小于乙，当然这样的地方还有很多，A项错误；当甲、乙下降相同的高度h时，由动能定理得，即，B项正确。画切向速度图象如下：

经分析甲、乙开始一段时间，切向加速度甲比乙大，切向速度存在上面3种可能，假设图6（b）成立，从0到末时刻有s甲＞s乙，末时刻速度大小相同，表示甲、乙下降同一高度，然后用水平线去截甲、乙轨迹，如图6（d）所示，则有s甲＜s乙，与上面结论相矛盾，故假设不成立，同理图6（c）也不成立，只有图6（a）成立，即C项错误，D项正确。

【答案】BD

【点悟】（1）上述三例看到，不管物体是做直线运动还是曲线运动，过程皆为变速态，首选图象法解答快捷方便。

（2）物体在平直的粗糙面上运动，摩擦力做功为μmgx水平（如【例2】所示），在曲面上运动时，因为有超失重现象发生，所以不能用此结论计算摩擦力做功多少，只能利用转换的思想如动能定理解决。

（3）在利用速度图象解决问题时一定要领悟图象的含义。图线的斜率表示加速度，图线下方的面积表示位移或路程。

二、巧用v-t图象比较弹簧参与的过程

【例4】如图7所示，两质量相等的物块A、B通过一轻质弹簧连接，B足够长，放置在水平面上，所有接触面均光滑。弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内。在物块A上施加一个水平恒力，A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，下列说法中正确的有 （ ）

A.当A、B加速度相等时，系统的机械能最大

B.当A、B加速度相等时，A、B的速度差最大

C.当A、B的速度相等时，A的速度达到最大

D.当A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大

【答案】BCD

【点评】从图象中不仅能比较加速度相等时速度的大小，也可以比较速度相等时加速度的大小。

三、巧用v-t图象比较摩擦渐变的过程

【例5】如图9所示，平直木板AB倾斜放置，板上的P点距A端较近，小物块与木板间的动摩擦因数由A到B逐渐减小。先让物块从A由静止开始滑到B。然后，将A着地，抬高B，使木板的倾角与前一过程相同，再让物块从B由静止开始滑到A。上述两过程相比较，下列说法中一定正确的有 （ ）

A.物块经过P点的动能前一过程较小

B.物块从顶端滑到P点的过程中因摩擦产生的热量，前一过程较少

C.物块滑到底端的速度，前一过程较大

D.物块从顶端滑到底端的时间，前一过程较长

【解析】两个过程中小物块到达P点时，设前一过程中合力做功为mgl1（sinα-μ1cosα），后一过程中合力做功为mgl2（sinα-μ2cosα），因l1＜l2，前一过程中任一位置的动摩擦因数μ1大于后一过程中任一位置的动摩擦因数μ2，所以mgl1（sinα-μ1cosα）＜mgl2（sinα-μ2cosα），因此根据动能定理知物块经过P点的动能前一过程较小，A项正确；因两个过程中摩擦力做的功一样大，所以产生的热量也一样大，B项错误；又因为两个过程中合力做的功一样大，所以物块滑到底端的速度一样大，C项错误；前一过程物块做加速度增大的加速运动（图线1），后一过程物块做加速度减小的加速运动（图线2），而物块到底端的速度又相等，v-t图象如图10所示，可见后一过程运动时间短，D项正确。

【答案】AD

【点评】上述几例看到，在画出速度图象时，不仅要注意加速度的变化，还要利用动能定理或能量守恒定律判断出末速度的大小，上述几例都是利用与横轴平行的速度线结合加速度变化判断的。

即时演练

1.（2013·安徽高考）如图所示，有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，MN是通过椭圆中心O点的水平线。已知一小球从M点出发，初速率为v0，沿管道MPN运动，到N点的速率为v1，所需时间为t1；若该小球仍由M点以初速率v0出发，而沿管道MQN运动，到N点的速率为v2，所需时间为t2，则 （ ）

A.v1＝v2，t1＞t2

B.v1＜v2，t1＞t2

C.v1＝v2，t1＜t2

D.v1＜v2，t1＜t2

参考答案

1.A 【解析】由于小球在运动过程中只有重力做功，机械能守恒，到达N点时速率相等，即有v1＝v2；若小球经过MPN途径，先减速后加速，若经过MQN途径，先加速后减速，根据路程相等，相同倾斜度的接触面的加速度大小相等，末速度大小相等作出如图所示图象，可以得到t1＞t2，A项正确。

（作者单位：江苏省江阴市第一中学）