有趣的概率

郑德馨

生活中各种各样的现象可以分为两类，确定性现象和非确定性现象，后者又称为随机现象.由于随机现象的结果出现的随机性，以及人们对这些随机现象缺乏认真的思考，从而导致了很多有趣的事情发生.

杰克对随机事件发生的概率比较熟悉，经常利用这点特长骗人.有一次，他对喜欢赌博的汤姆说，我们掷硬币，我要正面.如果出现正面，你给我一个硬币，如果出现反面，我给你二个硬币.因为我输的时候给你二个硬币，所以如果第一次是反面应该再掷一次.汤姆感觉很公平，就同意了.结果可想而知，汤姆很快输光了身上所有的钱.我们分析一下这其中的原因.整个过程有三个结果：结果一，第一次掷出了正面，本次游戏结束，汤姆给杰克一个硬币；结果二，第一次掷出了反面，接着在第二次掷出了正面，本次游戏结束，汤姆给杰克一个硬币；结果三，第一次掷出了反面，接着在第二次又掷出了反面，本次游戏结束，杰克给汤姆二个硬币.汤姆不了解概率，认为这三个结果的出现是等可能性的，所以认为是公平的.但是，我们知道，在硬币是均匀的这一假设下，每次投掷出现正面和反面的可能性是相同的，都是0.5，从而杰克每一局获胜的可能性是0.5+0.52=0.75，而汤姆每一局获胜的可能性是0.25，所以，公平的方法应该是，出现第三个结果时，杰克给汤姆三个硬币.由此可以看出，杰克骗了汤姆.

另一个故事是狐狸和狼共同去农户家里偷了一只公鸡，两个家伙为了如何分这只公鸡争吵不休.后来狐狸提出一个办法，投掷一只骰子，如果出现一点，就把公鸡给狼，否则就给狐狸.狼当然不同意，他知道这样他得到公鸡的可能性只有1[]6.狐狸说，你可以掷3次，只要出现一次一点，公鸡就归你.于是，狼就同意了，因为他认为3个1[]6的和是1[]2，这样是公平的.这件事当然还是狐狸骗了狼.因为狼的计算方法是错的.正确的方法应该是这样的：假设骰子是均匀的，掷三次骰子是独立的，则狐狸得到公鸡的概率是连续三次都没有出现一点，也就是（5[]6）3=125216，这个数是大于1[]2的.狐狸利用随机事件表面上的公平性骗了狼，虽然他获得公鸡的概率不是1，但是这个方法使得事情向有利于自己的方向发展了.

玩纸牌的游戏非常流行，每时每刻全世界都有数以百万计的人在玩.很多游戏是由四个人围坐在桌旁玩的，洗好牌，每人拿到13张牌.最有趣的是，一年里有一次或两次报纸上总会刊登这样的消息：有一个人拿到了13张黑桃.四个人中有一个人拿到13张黑桃的机会到底有多大？都值得报纸作为新闻刊登了.这其实属于典型的古典概率问题.假设每人得到每张牌的概率是相同的，那么四个人拿到牌的所有可能的结果共有C1352C1339C1326种，其中满足某一个人恰好有13张黑桃的结果共有C1339C1326种，因此有一个人拿到13张黑桃的概率是1C1352=1635013559600.这当然是一个很小的数，但是，为什么每年都会有一次或两次报纸上总会刊登这样的消息呢？这就是“小概率事件”在试验重复进行下去总会发生的原理.假设事件A发生的概率p很小，虽然概率事件A在一次试验中发生的概率很小，但是试验重复进行n次仍然没有发生的概率（1-p）n的极限却是0，因此，如果试验重复进行下去，事件A发生的概率的极限是1.由于每时每刻全世界都有数以百万计的人在玩纸牌，这就相当于试验一直在重复进行，即使“有一个人拿到13张黑桃”的概率非常小，时间长了也总是会发生的.

买彩票的原理和上面纸牌游戏的原理是相同的.虽然对某一个人来说，中大奖的概率很小，但是买的人多了，“中大奖”这样的小概率事件总是会发生的.因此，每年都会有几个“幸运儿”买彩票中大奖.但是，对于我们个人来讲，由于我们的财力有限，不可能买太多的彩票，因此，不能认为是“试验在无限重复”，不应该把买彩票作为“致富”的途径.

生活中有很多有趣的随机现象可以用概率的知识来解释.但是如果不能深刻理解概率的知识，就会像汤姆和狼那样被骗.