“课例研究”的一个实例：数学思维的教学
——“‘课例研究’之思考与实践”系列之二（上）

◇郑毓信

“课例研究”的一个实例：数学思维的教学
——“‘课例研究’之思考与实践”系列之二（上）

◇郑毓信

就小学的数学思维教学而言，有两个最为基本的问题：（1）小学数学教学应当突出哪些数学思想和数学思想方法？（2）我们应如何开展数学思维的教学？（关于“数学思维”“数学思想”与“数学思想方法”的具体含义或用法可见参考文献[1]）

就第一个问题而言，我们应特别提及当前较为流行的一种观念，即认为数学教学应当突出“基本数学思想”。其中“基本数学思想”主要是指“数学抽象的思想”“数学推理的思想”和“数学模型的思想”。对此我们可作出进一步的层次区分，如：“由‘数学抽象的思想’派生出来的有：分类的思想，集合的思想，‘变中有不变’的思想，符号表示的思想，对应的思想，有限与无限的思想，等等。 ”[2]

当然，对于上述问题也有很大的讨论空间。例如，从教学的角度看，重要的不是无一遗漏地列举出各种数学思想，包括所谓的“基本数学思想”和“一般数学思想”，而是应当更加重视我们如何能针对具体的教学内容揭示出其中所蕴涵的数学思想。另外，相对于严格的层次区分而言，我们应更加重视自己的独立思考，注意特殊与一般的辩证关系。

事实上，“内容相关性”可被看成数学思想最为重要的特征之一，因此，“数学思维的学习，不应求全，而应求用”。我们还应高度重视如何能通过具体与抽象、特殊与一般的辩证运动不断深化自己在这方面的认识——显然，这事实上就为上述第二个问题提供了直接解答的依据，也就是说，相对于数学思想和思想方法的专门教学而言，我们应当更加重视如何能以思想方法的分析带动具体知识内容的教学，因为只有这样，我们才能使学生深切地感受到数学思维的力量，并逐步学会数学地思维。（对此可见参考文献[3]）

以下就以小学数学的若干课例为背景具体地指明几种数学思想，包括它们为何具有特别的重要性。

一、“比较”与“一一对应思想”

提到“比较”与“一一对应思想”，恐怕有不少人就会立即想到“植树问题”的教学，因为自新一轮课改实施以来，这一教学内容在各类教学观摩活动中始终具有较高的 “出镜率”，而且人们逐渐达成了这样的共识：相对于所谓的“两端都种”“只在一端种”“两端都不种”这三种情况的区分而言，教学中应当更加突出“一一对应”的思想。（这方面的一个最新实例可见参考文献[4]）

然而，事实上“比较”与“一一对应思想”从小学数学的开端，即自然数的认识开始，就有特别的重要性；我们甚至可以断言：各种数学概念，特别是“数”概念的生成，都离不开“比较”与“一一对应思想”。

当然，从一般思维的角度分析，这两者又可被看成“联系的观点”的具体运用，也就是说，我们应当善于将事物和对象联系起来加以考察。它们的特殊性则在于：相对于一般意义上的“比较”而言，“数学视角”最为重要的一个特征是，数学中我们仅仅着眼于事物和对象的量性特征（就“数”概念的生成而言，这主要是指对象的“多与少”），而完全不考虑它们的质的内容。另外，只有通过“一一对应思想”的具体应用以及数量上的“相等”（这就是所谓的“等数性”）与“不相等”的明确区分，我们才能帮助学生顺利地抽象出各种数的概念，并正确地认识数与数之间的大小和运算关系。

更进一步说，上述思维过程也可被看成“数学化思想”的具体应用，特别是，由较为模糊的“多”与“少”的概念逐步过渡到精确的定量：这究竟是多少？与其他对象相比究竟大（小）了多少？

还应强调的是，尽管以上所说的“比较”与“一一对应”就其原始意义而言主要是指实物间的对照比较，但这恰恰又可以被看成学生数学水平或数学能力不断提高的一个重要表现，即他们逐步学会了在实物与抽象物（“数”）以及抽象物与抽象物之间作出比较或对应。例如，前者显然就是“计数”这一活动的直接基础，后者则标志着我们已经能够超出具体情境并从更高的抽象水平上去从事纯粹的数量关系的研究。

从上述角度分析，我们也可以更好地理解郑大明老师的课例“○与□玩数学”以及如下评论：“学生在进行计算意义归类时，对基于合并关系建立的加、减、乘、除的理解非常到位，出错很少；而对基于对应关系的加、减、乘、除意义的理解非常差，出错率高。”[5]因此，我们在教学中应特别注意引导学生“用‘一对一’的思路研究大小、多少和倍数之间的本质联系”[5]。进而，其中所提到的“倍数关系”，不仅可以看成“比较”思想的进一步发展，而且代表了“一一对应思想”在更高层次上的应用。后者是指，如果说“相同的计数单位”可以被看成为我们具体判断数的大小（包括自然数、分数与小数等）提供了必要的基础（对此可见贲友林老师的课例“小数的大小比较”[5]），那么，“倍数关系”的引入事实上就是将两个数中的一个看成新的“比较单位”，即将原始意义上的“多”看成新的“一”（这涉及“集合思想”，对此我们将在后面作进一步的论述），而这事实上就为“一一对应思想”在更大范围内的应用提供了可能性。

例如，从后一角度分析，以下的评课显然就十分到位，特别是这清楚地表明“比较”与“对应”思想对于小学数学的教与学活动的特殊重要性：“倍的本质是两个量之间的关系，那么我们就认为应该将‘比较’贯穿于整个教学中，在‘倍’的教学过程中，我们……先复习多与少的关系，再教学倍的关系。让学生在几个几的基础上初步认识倍的意义，首先明确怎样定标准——‘以什么为 1份’，接着，让学生学会用摆一摆、圈一圈的方法找出倍数关系。在整个教学过程中，教师始终关注个体对概念的理解。适时放慢，引导学生不断思考‘怎么比’‘比的结果怎样’，让学生尽可能主动思维以展开‘深加工’的过程。 ”[6]

综上可见，就小学生数学思维的发展而言，“比较”和“一一对应思想”具有特别的重要性，这在很多情况下就构成了数学抽象的直接基础。因此，将“对应”的思想简单地归属于“数学抽象的思想”，即认为在两者之间存在明确的层次关系并不十分恰当，从教学的角度看，我们应将“对于‘对应关系’与‘多少关系’的敏感性”看成数感最为基本的含义之一，并帮助学生在这方面很好地实现由模糊到精确、由具体到抽象的必要发展。

二、“集合思想”与数学想象

集合观点的统治地位常常被说成数学现代发展的重要特点之一（亚历山大洛夫语），但这主要是从逻辑角度进行分析的，从而事实上也就意味着 “集合”是一个高度抽象的数学概念——因此，要帮助小学生很好地掌握这一概念是比较困难的。

为了清楚地说明问题，建议读者尝试着去回答这样一个问题：“什么是集合？”对此集合论的创始者、德国著名数学家康托曾给出如下回答：“所谓‘集合’，是指把确定的、彼此可以区分的直觉或想象的对象看成一个整体。”但是，我们如何才能清楚地说明“将若干对象看成一个整体”的具体含义呢？

另外，这显然也可以看成以下“真实故事”给予我们的直接启示。这个故事发生在20世纪60年代，当时“新数运动”作为风靡全球的一次数学教育改革运动正处于高潮之中。“新数运动”的核心思想就是认为应当用现代数学思想对传统的数学教育作出改造。但是，由于“集合”的概念在现代数学中占据特别重要的位置，下述情况的出现就不足为奇了。

一个数学家的女儿从幼儿园放学回到家中，父亲问她“今天学到了什么”，女儿回答道：“我们今天学了‘集合’。”数学家觉得对于这样一个高度抽象的概念来说女儿的年龄实在太小了，因此就关切地问道：“你懂吗？”女儿肯定地回答：“懂！一点儿也不难。”这样抽象的概念会这样容易懂吗？听了女儿的回答，作为数学家的父亲仍然放不下心，因此又追问道：“你们的老师是怎么教的？”女儿回答道：“老师首先让班上所有的男孩子站起来，然后告诉大家这是男孩子的集合；其次，又让所有的女孩子站起来，并说这是女孩子的集合；接下来，又是白人孩子的集合、黑人孩子的集合……最后，老师问：‘大家是否都懂了？’她得到了肯定的答复。”

显然，这个教师所采用的教学方法没有什么问题，甚至可以说相当不错。因此，父亲决定用以下问题作为最后的检验：“那么，我们是否可以将世界上所有的汤匙或土豆组成一个集合？”女儿迟疑了一会儿，最终作出了这样的回答：“不行！除非它们都能站起来！”

基于上面的论述，相信读者可以较好地理解吴正宪老师以下的教学设计[5]：在“重叠问题”的教学中，通过有效地调动学生的生活经验，特别是让学生实际动手去画一画、算一算，教师不仅帮助学生较好地掌握相关的知识 （如我们应当如何看待元素与集合之间的隶属关系，以及不同集合之间的各种可能关系），更借助于“画圈”这一形象的表征帮助学生较好地掌握“集合”概念的本质，即“将对象看成一个整体”。（建议读者回忆一下前面关于 “倍的认识”教学的相关论述，特别是，其中在什么意义上也直接涉及“集合的思想”）

当然，如果将上述教学设计与先前提到的幼儿园教师的教学方法加以对照，我们仍然可以提出这样的问题：吴正宪老师的设计之所以成功，应主要归功于将“站起来”改成了“画圈”还是学生认知水平的提高？

对于上述问题，相信读者通过深入思考与必要的实践即可获得明确的解答。但在笔者看来，其主要价值则在于借此我们可以更为深入地认识到这样一点：无论是“站起来”还是“画圈”这样的实际活动，尽管其对于学生形成相应的数学概念有很大帮助，但同时都有一定的局限性，因为在大多数情况下数学概念的形成都离不开内在的思维活动，特别是一定的抽象思维与想象能力。

由以下分析，相信读者可以更好地理解后一论述的主要含义：正如我们无法让汤匙或土豆“站起来”，在对象是无限（或数量很大）的情况下我们显然也不可能实际地完成将所有对象都“圈起来”这样一个动作，因此我们必须帮助学生很好地实现由实际操作向思维运作的必要过渡，包括由直观图形逐步过渡到相应的心理图像。因为任何经验都必定局限于有限的范围，而只有依靠想象与理性思维，我们才能真正进入无限的王国，如将所有的自然数看成一个整体，以及如何能够很好地理解直线与射线等概念的性质。（后者是指，如果我们始终停留于日常生活与直观经验，那么，无论我们在教学中使用了什么样的实例，如手电筒的光线、子弹的运行轨迹等，都不可能帮助学生很好地认识射线和直线的无限性质，甚至可能因此而造成一定的困惑。另外，我们显然也只有从集合的观点进行分析，才能正确地认识“射线是直线的一部分”“射线与直线谁长”等事实与问题）这事实上十分清楚地表明数学抽象的建构性质，对此我们将在后面做出进一步的论述。

最后，还应指出的是，如果说由“集合”的概念我们即可十分自然地引出元素与集合之间的隶属关系、不同集合之间的包含关系以及集合的交、并、补等概念，这是不恰当的，因为它们事实上并不能被看成 “集合理论”的主要内容，而“集合理论”严格地说是关于无限数量的研究，即主要是指我们如何能将“大小”等概念推广到无限性对象——当然，这在很大程度上超出了基础数学教学的范畴。

另外，从同一角度分析，我们也可清楚地看到在 “集合思想”与“分类思想”之间存在的重要区别：在现实中分类活动往往集中于概念的内涵，即对象的特征性质；而数学中关于集合的研究则唯一集中于概念的外延。例如，在数学中我们完全可以将一个茶杯、三个小孩儿与天上的一颗星星看成一个集合，而不用考虑这三者是否具有任何内在的联系或共同的特征。

[1]郑毓信.莫让理论研究拖了实际工作的后腿——聚焦数学思想的教学[J].湖南教育，2015（3）（4）.

[2]顾沛.数学基础教育中的“双基”如何发展为“四基”[J].数学教育学报，2012（1）.

[3]郑毓信.《数学课程标准（2011）》的“另类解读”[J].小学教学，2013（3）.

[4]王炜.《植树问题》教学案例解读[J].小学教学设计，2015（11）.

[5]方运加.品课·小学数学卷001[M].北京：教育科学出版社，2013：147；160；23-41；3-21.

[6]张玮，杨健辉.“倍的认识”教学实录与评析[J].小学数学教育，2015（11）.

（作者系南京大学哲学系教授，博士生导师，本刊顾问）