追求学生自主探究的数学课堂*

☉江苏省苏州中学园区校　耿恒考



追求学生自主探究的数学课堂*

☉江苏省苏州中学园区校耿恒考

*江苏省教育科学“十二五”规划重点课题“培养初中学生自主探究数学学习能力的策略研究”（课题编号：E-b/2013/011）.

著名数学家和数学教育家波利亚曾说：“学习任何知识的最佳途径是由自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的规律、性质和联系.”因此，教师要善于引导学生养成理解性探究的学习方法.一次公开课教学中，执教的内容是苏科版数学七年级下册的“零指数幂和负指数幂”.设计本课的宗旨是：“以生为本”“为理解而教”，培养“理解性探究”的学习方法，课堂教学的理念是：让学生充分参与、自主探究，让学生思维活跃起来.本课教学得到师生的充分好评.现将主要教学过程整理出来，并作必要的思考总结，与大家分享.

一、课堂教学实录

1.情境引路，提出问题

师：在生物课上我们知道生物的生长离不开细胞的分裂和分化，下面请同学们看一段细胞分裂的动画.

多媒体动画显示：一个细胞分裂一次由1个变成2个，分裂两次由2个变成4个，分裂三次由4个变成8个，分裂四次由8个变成16个.

师：请思考细胞分裂的次数与细胞个数之间的关系.

问题1：一个细胞分裂1次，细胞数有几个？分裂两次、三次、四次呢？若分裂n次呢？

生1：细胞的个数分别是2、4、8、16、…、2n.

学生回答的同时，教师板书：

细胞分裂次数1 2 3 4…n

细胞个数2 4 8 16…2n

师：你怎么知道细胞分裂n次时，细胞个数是2n？请说说你的想法.

生1：由2=21，4=22，8=23，16=24，可知每个等式的右边2的指数与细胞分裂的次数是相同的，所以分裂n次时，应该是2n个.

师：很好！由此，可以发现其中的规律：细胞数是以2为底数的幂，且它的指数就是细胞分裂的次数.

同时，教师将板书改写如下

细胞分裂次数1 2 3 4…n

细胞个数2=214=228=2316=24…2n

2.经历活动，探究发现

建立在以上规律的基础上，引导学生进一步自主探究.

问题2（1）：细胞分裂6次时，细胞个数是细胞分裂4次时的几倍？要求列式计算.

生2：应该是4倍，计算式子是：26÷24=26-4=22=4.

师：你能说出计算的根据吗？

生2：同底数幂的除法法则.

师：具体说一下法则内容.

生2：am÷an=am-n（a≠0）.

生3：还有m、n是正整数，且m＞n的条件.

师：在乘方的意义中，幂的指数部分表示底数的个数，所以要求：“指数m、n是正整数，且m＞n”作为法则的组成部分.

问题2（2）：细胞分裂4次时，细胞个数是细胞分裂4次时的几倍？请列式计算.

当教师刚刚把题目出示时，同学们表示很惊讶，部分学生不自觉地说出了这个问题太简单了！

生4：1倍，24÷24=1.

师：你是怎么算出24÷24=1的？

生4：24÷24=16÷16=1.

生3：24÷24的除数与被除数相同，结果当然是1.

生5（生5是一位思维活跃的孩子，他高举着手）：24÷ 24=24-4=20=1.

师：几位同学的运算都是正确的吗？有没有哪位同学的算法不对？如果不对，问题出在哪儿？

生6：生4是对的，生3是用小学的说法，生5好像也对，昨天我预习时，看到书上有a0=1.

生7：生5不对，他用的是同底数幂除法法则，法则要求“m＞n”，而且凭什么说20=1？

师：的确如此！我们在运用法则解决问题时，一定要注意法则的使用条件，这是数学学科理性思维的特点.不过24÷24的“外形”的确像同底数幂的除法，如果尝试着用同底数幂除法法则计算，就会出现生5计算过程中出现的“20”这一“特别”的结果，生6看到了书上有a0=1的说法，那么20=1吗？如果根据乘方的意义解释，“20”是什么意思？

生8：0个2相乘，说不通啊.

课堂上生5、生6等有喜悦、有惊讶、有疑惑.

师：显然，我们面临着一个巨大的挑战！从“正道”途径计算：24÷24=16÷16=1，从“旁道”算出了20这一“怪胎”，这让我们大胆地猜想：20=1，如果我们能够多方面说明20=1是合理的，我们就可以确定20=1！大家能举出生活中的例子，说明20=1是说得通的吗？

生9：刚才的细胞分裂就可以啊.细胞如果没有分裂，就只有一个细胞，也意味着分裂次数为0，分裂次数是2的指数，不难发现20=1说得通！（学生的思维积极性高涨）

生10：我想到了学习乘方时，老师曾经让我们折纸，一张纸对折一次是两层，对折两次是四层也就是22层，…，如果不对折，只有一层，也可以看成20层啊，那不是也能说明20=1是合理的吗！

师：太棒了！从生活的经验、从动手操作实验的活动中都能说明20=1是说得通的，是“合乎情理”的，说明我们的猜想具有合理性.能不能从数学自身角度，来说明这一猜想的合理性呢？譬如，看看数轴……

PPT课件出示画好的数轴（如图1），师生共同探讨：从结果可以看出，在数轴上，16→8→4→2，左边的数依次是右边数的一半，从相应的幂的形式看24→23→22→21，左边幂的指数的总比右边幂的指数小1，所以如果前者是2的一半应该是1，则对应的幂应该是20了.

图1

师：我们从多角度多层次说明了“20=1”是说得通的，是合乎情理的，所以我们可以规定20=1！推广一下，如果尝试用同底数幂除法法则计算a4÷a4=a0，而从另一个角度a4÷a4=1，根据刚才合乎情理的“说明”，a0=1也应该是合理的，不过，用字母表示数时，要注意什么？

生11：a≠0，因为0不能作除数.

师：OK！所以我们可以规定：a0=1（a≠0），即任何非0数的0次幂等于1.有了这个规定，让我们看看同底数幂除法法则，可以作什么改变？

生3：“m＞n”可以改成“m≥n”了.

3.由浅入深，乘胜前进

有了零指数幂的这个规定，学生的视野似乎开阔了.在已有的经验基础上继续探究.

问题3：细胞分裂4次时的细胞数目是细胞分裂5次时的几倍？请列式计算.如果尝试用同底数幂除法法则，你遇到什么挑战？你想作出什么样的规定，并怎么解释这个规定的合理性？

师：好！继续猜想：若规定：2-1=，那么2-2、2-p、a-p，其中a≠0，p是正整数，等于什么呢？

生13：2-2=.

……

师：结合前面的零指数幂，我们今天得到了两个规定：零指数幂和负指数幂.再回顾同底数幂除法法则，有了负指数幂的规定后，同学们又有什么发现？

众生：“m≥n”这一条件可以去掉了！

4.拓展练习，深化理解

师：学了新的知识之后，我们来用一用、试一试、练一练.

（1）判断：①3-3表示-3个3相乘；②a-m（a≠0，m为正整数）表示m个a相乘的积的倒数；③（m-1）0=1.

（2）用小数或分数表示下列各数：4-2；-4-2；3.14× 10-3；（-0.1）0×10-2；；（π-3.14）0.

生14：这种方法是运用今天学习的方法，将负指数幂先转化成正指数幂，然后运算.只要记住结论，套用就行了，这种方法不好吗？

师：这种方法非常正确，是解决这类问题的常用思路.但是，探索是无止境的.

师：你是怎样想的呢？

生5：既然负指数幂能够转化为正指数幂，那么正指数幂也可以转化负指数幂，就是再倒回去.只要真正理解了，结论不用记也知道了，这不就是老师常说的要逆向思维，要灵活运用吗？公式是可以逆用的呀！

师：生5思考问题的方法非常好，譬如，把分配律逆过来用有时能使运算简便，公式和有的法则若逆用可能会使问题解决起来更方便、更简捷.

（4）计算：①25÷2-3×20；②；③

师巡视发现，学生解决都比较顺利.

5.梳理小结，提炼升华

师生共同回顾总结，并在思想方法上进行提炼.

二、教学思考与感悟

数学知识有严谨的逻辑体系，因此概念、命题的产生总有其缘由及存在的合理性.数学概念的产生受两种力量的驱动，一是对一类事物本质属性的概括，使研究个别对象的属性转向研究一类对象的属性，使研究过程简化、研究结果更具有普遍性；二是为新知识的产生及推动知识的发展提供支点，如为了进一步揭示对象的本质需要引出新的概念，为了解决问题引出新的概念等.“零指数幂和负指数幂”两个概念的产生，应该属于后者，即为新知识的产生以及推动知识的发展提供支点.它们的出现，是乘方运算、幂的运算进一步向前推进的需要，是日后指数范围进一步扩充的奠基，也是高中阶段学习幂函数、指数函数的基础.

教学中，要充分暴露出学生是怎么想的，是怎样探寻解决问题的策略的.的确，没有过程的结果是现成事实的外在灌输，没有结果的过程则是学习时间的奢侈消费.新的命题、概念的产生，有的可以通过已有知识经过逻辑推理而得到，有些却是通过实验操作、观察、类比等复杂的思维活动后作出的猜想，再通过实验、操作、归纳、画图等多角度说明猜想的合理性，从而作出的规定.当“规定”形成后，“加盟”到原有的知识体系中，如果不出现矛盾，可以反过来促进规定的合理性；如果出现矛盾，也许只是猜想，规定是“伪”的，还需其他新知识的支撑，这一个个的循环，离不开合情推理.对于“20=1”的出现，部分同学产生了认知冲突.首先可能是同底数幂运算的“错误”运用，为猜想提供了第一感觉，接着再从细胞分裂、折纸、数轴等角度，都足以说明“20=1”是说得通的，是合乎情理的，这为“规定”提供了支持.“课标”（2011年版）在“教学建议”中指导：不仅要让学生了解零指数幂的“规定”、会进行简单计算，还要让学生感受零指数幂的“规定”的合理性，并在这个过程中学会数学思考、感悟理性精神.学生在学习“零指数”的过程中经历了如下的过程：面对挑战进行思考—提出“规定”的猜想—通过不同途径说明“规定”的合理性—做出“规定”—验证这种“规定”与原有知识体系没有矛盾—指数概念和性质得到扩展.这样的过程较充分地体现了数学自身发展的轨迹，有助于学生感悟指数概念是如何扩展的，学生借助学习“零指数”所获得的经验，可以进一步尝试对负整数指数幂的意识做出合理的“规定”.这样的教与学的过程较充分地展示了“规定”的合理性，有助于发展学生的合情推理意思及理性思维.

通过探究获得新的收获，并将新知及时纳入自己原先的知识结构，使原有的幂的概念和运算性质顺利扩展到零指数幂及负指数幂，以体现知识间的联系及其本质.比如，计算a6÷a0（a≠0），运用幂的运算性质：a6÷a0= a6-0=a6；根据零指数幂意义的规定：a6÷a0=a6÷1=a6.

参考文献：

1.庞彦福.初中数学有效教学［M］.北京：北京师范大学出版社，2015.

2.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

3.耿恒考.理解概念明确法则熟练应用——苏科版七年级“2.4相反数”解读及数学实录片段［J］.中学数学（下），2013（8）.