拉长思维过程　内化概念理解

☉福建省三明市列东中学　詹高晟



拉长思维过程内化概念理解

☉福建省三明市列东中学詹高晟

数学概念是数学学习的起点，是数学思维的基础.正确理解概念是学生掌握数学基础知识的前提，也是掌握数学基本技能、提高解题能力的必要条件，可见概念教学在数学教学中占有非常重要的地位.然而，由于很多数学概念具有高度的概括性，对于初中学生来讲显得比较抽象，不易理解，这就要求教师在教学时，要准确把握学生的认知水平，放慢教学节奏，引导学生经历概念的形成与建构，促进对概念本质的理解.最近，笔者通过网络平台观摩了两位教师执教的“锐角三角函数”（北师大版九年级下册第一章第一节第1课时），引发笔者对概念教学的进一步思考，现整理成文，以期与同行交流.

一、教学片断简录及评析

1.教学片断1（由教师A执教）

一上课，直接点出课题，指出为了研究锐角三角函数，先从梯子的倾斜程度谈起.

问题1：图1中的梯子AB和EF哪个更陡？

生（众）：EF更陡.

图1

图2

问题2：图2中的梯子AB和EF哪个更陡？你是如何判断的？

学生分组讨论片刻后，教师请一学生介绍思路，该生指出：只要在BC上取点M，使得BM=DF，过M作MN⊥BC交AB于N，由△BMN∽△BCA计算出MN=3.2，根据MN＜DE，可判断梯子EF更陡.

教师肯定该生的做法，指出这里运用了化归与转化思想，接着提出以下问题.

学生回答可由△AB1C1∽△ABC得到，教师指出既然的值一样，就把这个值叫做∠A的正切.由此引入正切的概念，至此用时不到10分钟.

图3

评析：教师意在通过探究梯子的倾斜程度这一情境问题，让学生经历正切概念的形成过程.但在实际教学中，教师基本上按照课本提供的素材，按部就班地完成三个问题的解答，没有利用过渡性语言体现出三个问题之间的关联，也没有很好地发挥情境对正切概念引入的指向作用，而是在问题3后直接给出正切的概念.情境中关注的是“边”对梯子倾斜程度的影响，而正切反映的是直角三角形中边与角之间的关系，这里的关键在于引导学生从对“边”的关注自然过渡到对“边角关系”的探究，显然在这方面本节课做得还很不够，导致所给情境与教学核心内容之间的割裂，情境成了点缀，并没有真正服务于核心内容的教学.

2.教学片断2（由教师B执教）

第二，随着农村经济产权制度改革的深入，农民在集体中的收益分配落到了实处。随着农村现代化进程的不断推进，集体经济所带来的收益呈现出前所未有的高速增长态势，这也使得更多的农民乐于分享集体经济所带来的成果[2]。

上课伊始，引导学生回顾直角三角形的性质：在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A+∠B=90°，a2+b2=c2，进而提出问题：直角三角形的边与角之间会有什么关系？告知学生要探究直角三角形的边与角之间的关系，可以从梯子的倾斜程度谈起.

师：一个梯子的倾斜程度会与什么量有关？

（学生回答：梯子与地面的夹角，梯子的长，梯子顶端与地面的距离，梯子底端与墙角的距离）

师：梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）与倾斜程度有什么关系？

生（众）：倾斜角越大，梯子越陡.

师：如果无法得知倾斜角的大小，而是知道两个梯子的垂直高度和水平宽度，能比较出这两个梯子的倾斜程度吗？来看下面的问题.

问题1：图1中的梯子AB和EF哪个更陡？（两个梯子“同底”，只需比“高”，梯子EF更陡）

问题2：图4中的梯子AB 和EF哪个更陡？（两个梯子“同高”，只需比“底”，梯子EF更陡）

问题3：图2中的梯子AB 和EF哪个更陡？

图4

学生分组讨论5分钟后，各组代表到台前交流解题思路，发现梯子EF更陡，并且提出了5种不同的解决办法.教师引导学生归纳各种方法的共同特点：都是通过添加辅助线，把两个直角三角形化为“同底比高”或者“同高比底”.

师：这些方法都比较烦琐，还有更简洁的方法吗？

生：刚才各种方法考虑的都是“高”和“底”，因而只要去计算它们的比就可以.

师：他们的比与梯子的倾斜程度有什么关系呢？

随后教师通过几何画板演示，对学生的猜想进行更多的验证，得出结论：的值越大，梯子越陡（∠A为梯子与水平地面的夹角）.

借助图3，教师引导学生由△AB1C1∽△ABC，得到，接着又在AB边上任取一点B2，过点B2作 B2C2⊥AC于C2，学生发现，进而得到结论：在Rt△ABC（∠C=90°）中，当∠A的大小确定后，它的对边与邻边的比值就确定了，与所在直角三角形的大小无关，从而引入正切的概念，至此用时30分钟.

评析：教师首先通过回顾旧知，自然地提出问题“直角三角形的边与角之间会有什么关系？”引发学生的认知冲突，激发他们的探求欲望，让他们兴趣盎然地投入到问题的探究中.接着利用“梯子的倾斜程度”这一问题情境，在教师的引导下，学生自主探究发现：既可以用倾斜角的大小，也可以用的值的大小来判断梯子的倾斜程度，由此顺势提出问题“二者之间会有什么关系”，建立起直角三角形中边与角之间的关联，自然地引入正切概念，让情境直击“课题”，聚焦教学内层，其教学功能得到很好的发挥，整个探究过程似行云流水，一气呵成.在问题3的教学中，教师留给学生充足的探究和交流时间，各组学生积极分享自己的探究成果，发言热情高涨，课堂气氛活跃，在不长的时间里竟然想出了5种不同的解决方案，各种方案精彩纷呈，令人赞叹不已，他们的思维得到淋漓尽致的发挥，主体地位得到很好的落实.

二、教学思考

1.理解教材意图，概念引入自然流畅

读懂教材，领悟编者的意图，是开展有效教学的基础.然而，由于受到条件限制，教材内容往往只能以静态的形式进行呈现，内里蕴含的数学思维要靠教师通过动态的课堂活动才能得以激活.如果教师没有深入理解教材，领会编写意图，课堂上只能是教材内容的“二传手”，各环节的教学将是“碎片化”的，不够连贯，不易建构起完整的知识体系、经历思维过程，培养数学能力更是无从谈起.本节课，教材提供的“探究梯子的倾斜程度”是一个很好的现实情境，取材真实，贴近学生的生活实际.梯子靠墙摆放，既可以通过倾斜角来反映梯子的倾斜程度，也可通过计算其中两边的比来刻画梯子的倾斜程度，引导学生探究“角”与“边”这二者之间的关系能快速指向“锐角三角函数”这一教学核心.根据调查，在已知边的情况下要判断梯子的倾斜程度，学生首先关注的是梯子的“高”与“底”，而不是梯子的长度，这正是教材为什么选择正切作为本章学习起点的原因，如果不做深入思考，就很难体会到隐藏在文字背后的编写意图，挖掘不出暗含其中的教学功能.教学片断1中，教师缺少对教材的加工，导致情境的作用没有得到有效发挥，不能很好地服务于新知的引入，事实上正切的概念是由教师生硬给出的.而在教学片断2中，同样的教学素材，由于教师站在系统的高度上，对教学内容进行重新组织，通过“直角三角形的边与角之间会有什么关系”“它们的比与梯子的倾斜程度有什么关系”“二者之间又有什么关系”等设问，使静态的教材内容动态化，把割裂的问题关联起来，使零星的知识条理化、系统化.教学中，教师以问题为主线，层层递进，直达本课核心，概念的引入自然流畅，符合学生的认知规律，还能让学生体会到数学与生活的密切联系.我们在设计教学时，要对教材进行深入思考，创造性地使用教材，找准数学知识网络的结点，把只有“干货”的教材变得“有血有肉”，活泼灵动，通过设计贴近学生思维最近发展区的数学问题，将教学内容转化为高效的教学行为，让教学内容有序地层层推进，使数学思维之花在和谐的课堂上灿烂绽放.

2.慢化探究过程，概念本质揭示到位

概念的抽象性往往导致学生不易理解，这就需要教师在教学时，慢化概念探究，拉长思维过程，让学生经历概念的形成过程，自主揭示概念的本质，准确把握概念的内涵和外延.当前，数学课堂仍然存在着把速度置顶这种现象，出现了“快餐式”的教学.比如，在概念教学中，有的教师不关心概念产生的背景，不重视概念的形成过程，采用“掐头去尾烧中段”的方式直接告诉学生概念，让学生记住“一个定义，几项注意”，接着举例训练，反复练习.这种急功近利的教学方式缩减了概念探究的历程，影响了学生的深度思考，阻碍了学生思维的发展、能力的提升.片断1的教学中，正切概念的引入用时不到10分钟，概念产生的背景交待得不够到位，概念本质的揭示并不是学生自主完成的，结果就会导致学生对概念的掌握一知半解，应用时是知其然而不知其所以然，只会机械模仿，生搬硬套，致使训练游离于知识之外，长此以往，必然对数学“四基”的落实产生不利影响.当然，我们讲要慢化概念教学，并不是刻意地慢慢吞吞，而是为了把探究的过程、发现的机会留给学生，让他们有足够的时间经历概念的形成，促进知识的有效内化，暂时的慢是为了更好的快.片断2的教学中，概念的引入虽然用时较多，挤压了一些强化练习的时间，似乎很不划算，实则不然，在解决问题3时，学生通过独立思考、小组讨论、分享交流，经历问题解决的全过程，体验了解决方法的多样性，感悟了化归与转化思想，他们在交流碰撞中解决了问题，提升了能力.正因为教师能够慢化探究过程，才会有如此精彩的课堂生成，学生才能收获成功的喜悦，体会数学学习的乐趣，这正是片断1中的教学所达不到的效果.在接下去的活动中，当学生知道既可以用倾斜角的大小，也可以用的值的大小来判断梯子的倾斜程度后，继续探究这二者之间的关系，主动揭示出“在Rt△ABC（∠C=90°）中，当∠A的大小确定时，它的对边与邻边的比值就确定了，与所在直角三角形的大小无关”这一结论，这正是正切概念的本质特征，此时引出正切概念自然是水到渠成.在这种“慢”教学中，学生充分经历概念的形成过程，自主完成概念的建构，理解概念的本质属性，对学到的概念自然是体会深刻，记忆牢固.正如一位学生在课堂小结时所说：“这节课的知识不是老师灌输给我们的，而是自己主动探究获得的，这样获得的知识我将终身难忘.”学生在获取数学知识的同时，思维能力、情感体验等方面都得到了进步和发展，这应是数学课堂不懈的追求！

*本文为江苏省如皋市微型课题《九年级数学教学中激发学生学习兴趣的研究》的研究成果，作者系该课题主持人.