数学理解及其教学实施路径

孔凡哲

【编者按】什么是数学理解？《义务教育数学课程标准（2011）》中有这么一段话：数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联。学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化。可以看出“理解”二字在小学数学教学中的重要地位。那么，如何在教学中实现“数学理解”？本期话题围绕“深化数学理解，激发学习动力”展开。

如众所知，判断数学学习成功与否的重要标志之一，就是学生是否获得数学理解。究竟什么是数学理解？如何帮助学生获得数学理解？本文结合小学数学课程与教学的实际，阐述数学理解及其教学实施路径。

一、何谓数学理解

“数学理解”其实是一个很难准确下定义的概念——尽管数学定义要求准确无误。通俗地讲，如果一位学生已经获得了“数学理解”，就意味着这位学生能够用自己的故事表达相应的数学内涵，对其中本质内涵的反映准确无误。也意味着，在这次数学学习中，学生对于活动中所包含的数学本质内涵已经“内化”。按照认知心理学的观点，获得数学理解意味着数学本质内涵已经融化在学生原有的数学认知结构之中，并形成相应的数学观念。

综上，针对“数学理解”，我们认为，如下三个要点极为重要。

1. 在数学学习中，“理解”不等于“会背定义”。在中小学数学中，无论是解释性的定义，还是相对严格的定义，其核心都在于数学概念的本质内涵，即使学生准确无误地背出定义，也未必真正理解其中的本质内涵。

2. “数学理解”具有典型的数学学科韵味（或称之为数学学科特征）。亦即，数学理解虽然具有个体特征，但其要害在于，这种理解具有典型的数学学科特征。举例来说，“某个自然数能够拆成两个相同的自然数之和”就是“理解”偶数所必需的数学特征，至于学生采用什么样的语言、什么样的方式，都是次要的。

3. 数学理解是个体对于数学学习内容所包含的数学内涵的自我构建，进而形成具有个人意义的典型标志。对学生而言，数学理解的本质在于，学生已经用原有的数学认知结构的相应观念（或替代物，或相应素材）诠释新知，构建了新知与已知之间的自然联系，而每个学生的数学认知结构都具有典型的个性特征，这种特性在“产生数学理解”的数学认知结构中的相应成分（相应部件）上表现得尤为充分。

二、数学理解的若干特征

与一般的“理解”相比，“数学理解”更复杂、更富有数学特征。

1. 获得数学理解意味着，学生已经把握了相应数学内容背后的数学学科特征。

2. 获得数学理解必然是学生对直接经验和间接经验的亲身加工所致，其中的核心在于学科思维活动。对学生而言，获得了数学理解意味着，他一定经历了概念抽象，或者法则概括或者其他新知构建的过程，而这个构建过程恰恰是学生对于原有的经验素材和刚刚获得的素材的加工整合所致，这种加工整合的本质内涵属于数学学科思维活动。

3. 获得数学理解的一个重要标志是，学生能讲述自己的“故事”，而这个“故事”恰恰能体现相应数学内容的学科本质特征。

三、帮助学生获得数学理解的教学实施路径

正如弗赖登塔尔所言：“与其说学数学，倒不如说学会数学化。”学生的数学学习本质上就是实现数学化，而帮助学生获得数学理解正是走向数学化的必经之路。

在小学数学日常教学中，帮助学生获得数学理解，不仅需要课程教材的设计者精心设计课程内容及其恰当的呈现形式，更需要教师精心设计、组织小学数学课堂教学过程，充分唤醒学生已有的数学活动经验和相关的生活经验，使学生在轻松愉悦中主动建构自己对于新知的理解，进而获得理解性掌握。

1. 帮助学生亲身经历数学概念的抽象过程、数学法则规律的概括过程，以及数学模型的构建历程，是获得数学理解必不可少的重要环节。

【教学案例】“破损的椅子”与角

在进行“认识角”的教学中，有教师采取这样的情境导入。

用动画展示聪明猫做开车旅行前的准备工作情境。聪明猫需要调试驾驶员的椅背（动画呈现椅背三种状态：锐角、钝角和直角），同时用画外音表达“只有（直角的）这种状态开车才方便”（而这一点恰恰是多数学生生活经验所熟知的）。同时，课件设计时特意将驾驶室的椅背的旋钮漏出来，突出一个顶点、两条边，即“一个地方是尖尖的，两边是直直的”。而后将聪明猫一路见到的生活中的各种形状的“角”凸显出来、抽象出来，初步认识角的概念和本质特征。教师对于聪明猫所见到各个相关图片（其中都包含“角”）都进行教学加工（比如，椅背的旋钮露出来了，而生活中是看不见的），其目的在于帮助学生更好地从生活情境中抽象出数学中的角。

这种课堂教学设计，其根本用意在于，唤醒学生已有的生活经验，利用学生喜爱的聪明猫开车旅行的背景，将“角的概念与角的关键特征”融在有趣的情境之中，具有帮助学生自我建构的明显倾向，即从找角，到归纳角的特征（一个地方是尖尖，两边是直直的）。设计者坚信：“学生学角不是为了记住角的概念，而是让学生经历从生活中大量的素材抽象出数学中的角的过程。”让学生经历这种抽象过程，对人的大脑确实是一次激发——不只是让学生记住某个概念，而是在获得数学理解过程之中，通过各种活动将学生的潜质激发出来，进而获得终生受用的智慧和素养。

2. 帮助学生自我建构，实现乐学、能学、会学，是数学理解教学的利器。

正是由于数学理解需要学习者有效利用已知，主动构建对于新知的理解，获得数学理解、形成新知，从而乐学、能学、会学，所以成为数学理解教学的利器。

（1）乐学的中心工作在于激发学生数学学习的兴趣，充分利用数学有趣、数学好玩，唤醒学生主动学习的原动力，解决学习动机问题。为此，激发学生参与数学学习的主动性，唤醒学生享受数学学习快乐的主动意识，是教师解决学生乐学所必备的工作。

（2）能学包含学习能力和学习毅力两个方面，前者包括具备学习的能力，包括阅读能力、理解能力、语言对话交流能力、正确的书写能力，以及获取新知的基本能力。后者特指具备数学学习的毅力。其实，数学学习必须具备一定的毅力，要能够坚持下来。毕竟数学是思维科学，既需要大胆的猜测猜想，也需要谨慎的分析论证（包括缜密的计算、推理过程）。

（3）会学是指掌握小学数学学习的基本策略方法。诸如，如何阅读数学教科书，如何思考数学问题，如何动手动脑在做中学数学，如何主动参与课堂教学，如何总结每节课的要点、每周的数学学习要点、每单元的数学学习要点，如何避免“丢三落四”、毛毛糙糙等不良现象。

3. 抽象和类化，都是获得数学理解不可缺少的教学渠道。

正如前文提及的，数学理解的一个重要特征就是具有数学学科内涵，而抽象、推理、模型恰恰是数学的基本思想，构成义务教育阶段数学的核心思想。对于小学数学而言，抽象及其逆向过程（即类化）占据更大的比例成分，毕竟小学数学是数学科学的起始和基础，为数甚多的小学数学概念其实是现代数学许多分支的原始概念或起始概念。

例如，以“圆”的概念为例，在认识到圆在现实生活中的普遍存在性后，教师设计“如何用一张纸撕出一个近似的圆纸片”活动，帮助学生先思考再动手做，在撕出一个近似的圆纸片后再重演“撕的过程”，分析对折的目的及其效果，才能帮助学生一边做一边感悟圆的概念，进而实现“圆”概念的抽象过程。只有帮助学生亲身经历数学概念的抽象过程，才能帮助学生获得数学理解，理解抽象思想，形成初步的数学抽象能力。

4. 恰当地利用几何直观、学生的操作活动与合作分享等，可以有效增加学生对新知的理解程度。

对于小学数学教学而言，几何直观必不可少。例如，对于理解“数位”的概念，最有效的途径就是利用现实素材。以“27+4”的教学为例，教师呈现“准备请客人到家吃饭的情境”——老师计划用“西红柿炒鸡蛋”招待客人，而家里的冰箱里仅有4个鸡蛋，老师从超市里刚刚买来1箱鸡蛋（共3层，每层都有用纸浆做成的10个窝，每个窝放1个鸡蛋，一共30个），打开后发现破损了3个，仅仅剩下27个（教师将鸡蛋带到课堂教学现场，只不过将鸡蛋做了特殊处理，用针管将蛋清蛋黄抽出来，仅剩下了蛋壳）。教师马上提出：“现在的鸡蛋数量一共多少个？”

课堂教学中的学生亲自操作表明，学生很自然地将4个鸡蛋中的3个补到3个空缺中，凑成完整的三层，而剩下1个鸡蛋，一共31个。几乎所有的学生凭着自然的感觉认为，必须凑成整屉整屉的，也就是说“10个鸡蛋一屉”是现实生活中真实存在的，更是学生所认同的，用它来作为实物直观实施十进制的教学是智慧的、成功的。

5. 在教学过程中，教师创设恰当的问题情境，搭建学生认知的最近发展域，将新知融于学生原有经验组成的情境素材中，进而进行抽象、推理、建模，这是获得数学理解不可缺少的重要的教学环节。

例如，“感受可能性”是小学数学教学的难点，即使是小学数学教师，有时也会遭遇困难。在教学中，搭建学生的认知脚手架，可采用如下方式。

教师首先出示一枚硬币，提出“你觉得连续掷10次，会出现几次正面”问题，供全班学生猜想。而后，教师现场操作，一般不会一定出现5次。此时，教师提出：“如果你来操作，结果会怎样呢？”将全班同学分为每两位一组，分组掷硬币，每组5分钟。而后将全班每组的数据现场统计在黑板上，随着统计的一组组数据的出现，教师引导学生分析这些数据，感受数据的随机性。一旦将全班各组的数据叠加在一起（相当于连续掷200次以上），那么，正面、反面出现的可能性就相差无几，亦即，出现正面的可能性非常接近0？郾5。由此可以推断，这个硬币是均匀的。

这种设计，其用意一方面在于学生亲身操作、全班合作完成数据的收集过程，另一方面在于，帮助学生获得直接的数学活动经验，体会数据的由来，亲身获得数据随机的直接体验。同时，更有利于培养学生的数据分析意识，建立归纳思维。而从统计学的学科属性而言，这种设计的本质在于，利用频率刻画概率必须保证频数足够大，否则达不到效果。

6. 学生之间的交流分享是促进数学理解的加速器。

理解的一个重要标志就是准确表达。而学生之间的交流分享，既可以诱发学生积极表达交流，并在其中主动反思自己理解的漏洞，又可以增进学生自我身份的强化和集体认同，有助于构建良好的朋辈关系，实现个人的社会化。

正如苏联教育家赞可夫所言：“当教师把每一位学生都理解为他是一个具有个人特点的、具有自己的志向、自己的智慧和性格结构的人的时候，这样的理解才能有助于教师去热爱儿童和尊重儿童。”其针对性虽然是“教育”，但其核心其实已经触及“理解”的本质。

（作者单位：东北师范大学）