基于思维导图的线性代数复习策略

2016-06-18 19:48陈晓艳
考试周刊 2016年42期
关键词:线性代数引言思维导图

陈晓艳

摘 要: 线性代数是硕士研究生入学考试《高等数学》科目的必考内容之一,概念抽象,性质,结论众多,考生在复习过程中不易把握,本文以思维导图为工具,从线性代数的核心概念——矩阵的可交换性入手,分析相关的考研试题,绘制出导图,得到本类问题的本质特征,进而指出思维导图对于学生形成自己的学习模块有辅助作用。

关键词: 思维导图 线性代数 可交换矩阵一、引言

思维导图(Mind Mapping)是英国Tony Buzan在20世记70年代初期所创的一种使人类更有效地利用大脑的笔记方法,是一种将放射性思考具体化的方法,它能帮助我们进行思考、理清思路。在我们不清楚问题、概念之间的关系时,从其中的一个问题或概念入手,利用思维导图可以把头脑中的信息联系起来,形成可视化的图表,从而使问题空间呈现可视化效果,以便深入了解这个问题,同时也加深对问题空间的认识[1][2]。

线性代数是硕士研究生入学考试高等数学科目的必考内容之一,在复习过程中,学生时常感到概念多、性质多,同时在做题的时候感到似曾相识却无从下笔。其实线性代数是一个整体的体系,如果我们在复习的时候有意识引入思维导图,就可以帮助我们把其中相关的模块联系起来,进而找到它们的关系,从整体上把握它们。

二、实例构建导图

下面我们就以矩阵中的一个小结论入手,看看思维导图能帮助我们获得什么。

我们从矩阵中的可交换矩阵入手,之所以选择它,是因为首先矩阵是线性代数里的一个核心概念,它和线性变换是不同形式下的同一事物,其次矩阵的乘积一般不满足交换律,但是当它满足交换律后,便带来了很多好的结论,因此是考研题型的热点之一。

我们收集了涉及可交换矩阵的考研试题,部分有代表性的如下:

(1)证明:设若n阶方阵A、B满足A+B=AB,则A、B可交换;(2)证明:若A,B为n阶方阵,满足AB=BA,则A,B有公共的特征向量;(3)证明:若A,B为n阶方阵,满足AB=BA,则存在n阶可逆阵T使得:

(4)若A,B为n阶可对角化方阵(也可说它们的初等因子皆为一次的),满足AB=BA,则存在n阶可逆阵T使得A,B可同时对角化。(5)若A,B为n阶实对称阵,则AB=BA的充要条件是存在n阶正交阵T使得A,B可同时对角化。

我们在分析以上各题的解题思路基础上,以mind manager为工具,最终绘制导图如下:

从下图可以看出:

1.作为第一优先级级的是可交换矩阵和可交换线性变换,也即我们这里列出的所有有关可交换矩阵的概念和结论,在可交换线性变换中同样适用。

2.作为第二级的有概念、性质

(1)概念

A,B可交换的概念有两个,第一个是显概念,也即一般的教科书上给的定义,我们遇到的题目(我们把它归到第三级)一般是已知一个低阶矩阵,要求可与它相交换的矩阵的集合,其中需要用到矩阵乘积、相等,解线性方程组等知识点。

第二个概念是一类考研题,我们把它称为可交换矩阵的隐概念,也即当满足A±B=AB时,有AB=BA。要证明这个结论,需要用到可逆矩阵的定义(即AB=BA=I)。一般来说,考研试题中会把它作为一个条件,加入到一个大题中,其本质是A,B满足可交换性。

(2)性质:当A,B满足可交换时,A,B中至少有一个相同的特征向量。

这是一个关键性质,需要用到特征子空间和不变子空间的概念,也即A的属于某个特征根的特征子空间V是B的不变子空间;

这个性质可得到好的结论:存在可逆矩阵P,使得均为上(下)三角阵。其证明思路是从的这个特征子空间的基入手,构建的基,利用数学归纳法可以证明。

3.考研热点

考研试题中经常出现的有关可交换矩阵的一类较难的试题是在第4级和第5级,但通过思维导图会发现,它们的条件、形式虽然不同,但均需要利用A,B有相同的特征向量这一条件,但性质中给出的是当A,B满足可交换时,A,B中至少有一个相同的特征向量,为了得到有完全相同的特征向量,需要加强条件:“A可对角化”。也即:

当AB=BA,并满足A可对角化时,B也可对角化,且A,B有相同的特征向量。这里需要用到的结论有:(1)当A为对角阵,且AB=BA时,B也为对角阵;(2) 存在可逆阵P,使P为对角阵。

(1)当有个互异的特征根时(有的考研题在这里也会设个套,即给出关于的特征多项式的根的特征: (f(λ),f′(λ)=1),显然A可对角化,其结论有三个:

①A,B有相同的特征向量(其作成的列向量组即为矩阵P);

②B也可对角化;

③B可表示为的多项式形式。

结论1、2 是A可对角化的两个结论,第三个需要用到待定系数法,设出形式多项式,通过矩阵的相等,方程组的解结构,行列式的性质等证明。

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