浅析数学思维之以粗犷的思想解决精细化问题

刘明月?刘彦明

【摘 要】 文章简单地阐述了高等数学中一种重要的思维方式——以粗犷的思想解决精细化问题。利用这种思想可以求不规则图形的面积和不规则物体的体积等，而且这种思维方式可以推广到自然科学和工程技术等领域，并以在军事领域的变换应用列举了实例，以佐证这种思想的神奇效果。

【关键词】 数学思维；粗犷的思想；精细化问题；解决方法

如果我们把高中及以前阶段所学的数学（代数运算和平面几何）称之为初等数学，而把进入大学及以后阶段所学的数学（数学分析、空间解析几何、线性代数等）称之为高等数学的话，那么初等数学和高等数学在运算技巧、应用范畴和思维方式等方面都有着本质的差异。初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学；高等数学是研究变量的数学，是研究运动的数学。而且，初等数学注重的是严密的逻辑推导和精确的数据结果，而高等数学更注重的是解决问题的思维方式和数据结果的实际应用性，函数演算的结果首先考虑的是实用范围，而不是以精确性和唯一性为标准，所以估值定理和高阶无穷小舍去的应用很普遍。所以，高等数学更注重的是思维方式的培养和思维模式的突破，本文将介绍一种高等数学中最为重要的思维方式之一：以粗犷的思想解决精细化问题。

在推导一元函数定积分的概念求曲边梯形的面积和推导二元函数定积分的概念求曲顶柱体的体积的过程中，我们都用到了这种思维方式。即当整个目标实现困难时，便可“化整为零”，将整体目标分割成n个小目标，每个不规则的小目标近似成规则的小目标；然后把近似后的小目标加起来，得到整体目标的一个近似值；最后，无穷细化所分割的小目标，当“细”到一定程度的时候，如所分割的小曲边梯形细成一条平面线段或所分割的小曲顶柱体细成一根立体线段时，那么，所近似的那部分误差就可以忽略不计了，从而得到一个和式的极限。这就是高等数学中的定积分概念，三重或三重以上定积分的思维模式亦是如此。[1]这种思维方式可以推广到自然科学和工程技术等领域，如求变速直线运动的路程，求密度不均匀的平面薄板的质量，求电荷密度不均匀的薄片上的电荷总量等等。[2]这种“化整为零、近似求和、无穷细化取极限”的思维模式就是本文所要阐述的“以粗犷的思想解决精细化问题”的思维模式的一种——整个目标要求是不断变化、复杂曲折或精细化的，但分割以后的每一小部分却可以“粗犷”地近似为规则的，只是“无穷细化”的结尾实在是妙啊！

本文所要阐述的思维模式只有以上一种吗？当然不是。微分运算的实质亦是以粗犷的思想解决精细化的数据，即求解增量主部。在初等数学中求解增量，如求面积的增量 时，是用后来的面积减去原来的面积，这最终的结果可能在小数点后保留着多位于实际应用没什么关系的位数；而用微分去求解面积增量 时，最终得到的数据是舍掉了高阶无穷小部分（或认为是将此部分纳入误差范畴）的，这样得到的数据更具有实用价值。人们在实地建设一片广场时，最终的结果比精确图纸多出了或者少了那么零点零零几平方米的面积，那又有什么关系呢？误差总是存在的，所以在最初的数据处理上，粗犷地“留主去次”，也是为后续的应用提供了方便。

此外，在很早以前，当人们去计算不规则形状物体的表面积时，就有人想到了“打点法”，即把物体表面打满“点”，若每个“点”的面积已知，只需弄清楚要覆盖整个表面积到底需要多少个“点”即可。当然这种“粗犷”的思想带来了大量的程序操作和重复计算。但在别的精准计算方法无法解决的情况下，这也不失为一种可以考虑的方法。而且，随着计算机技术的发展，人工所要承担的重复单调的工作可以越来越多地交给计算机，从而使这一类的方法更加可行。

很多学科上的研究突破都是和军事研究紧密联系在一起的，科学家和军人的组合在各个国家的发展史上都屡见不鲜。在军事战略上，这种高等数学上的思维方式更是变幻莫测、屡建奇功。在科学技术成为主导军事力量以后，尤其是出现了核技术以后，大国的优势已不复存在，国与国之间的竞争首先是科学技术的竞争，而不再取决于人口数量和国土面积。某些国家凭借着自己强大的军事力量向一些科技落后的国家发动了侵略战争，如美国入侵了尹拉克。但当美国入侵委内瑞拉时，却遭到了“粗犷式”抵抗，结束了西方强国对第三世界小国战无不胜的势头。委内瑞拉的做法是尽量利用廉价的“高科技”武器，比如大面积使用便宜的导弹，这类导弹使用的部件都是市场上便宜的大陆货，虽五脏俱全，具备测高雷达和全球定位功能，却也难免命中目标的精准度不高。但美国用于制造一颗高精度现代化导弹的费用可以组装上千颗这类的廉价导弹，即便在战场上只有不到十分之一的廉价导弹会命中目标，也会给敌军造成巨大的杀伤。反倒是拥有造价昂贵的高科技武器的精良部队，由于武器造价和数量的限制，不能发挥其优势。还有其他的批量生产的高科技小玩意儿，如装有近炸引信的狙击步枪子弹等，也取得了同样辉煌的战绩。[3]“数量”战胜“精细化”，这思想是不是够“粗犷”啊？只是某些被“精细化”思想洗脑了的人们，早已忘记了一些最原始、最有效的方式方法，如某些高精准雷达监测不到的东西是可以用肉眼看到的等，才使得这种粗犷的思想脱颖而出。时至今日，每当我们回想起毛泽东在抗美援朝时期说过的那句话——“你打你的原子弹，我扔我的手榴弹，胜利一定是属于我们的。”[4]都无比佩服！在越来越精细化的今天，拥有粗犷的思想越是能出奇制胜。

数学来源于生活，而又应用于生活，其自身的魅力终究在于其思维性，一个数学模型往往演绎着一种思维模式，这种模式千变万化，在不同的领域演绎着不同的故事。但万变不离其宗，化繁为简，究其本质，把所有的矛盾集于一点、全力攻破，才是最终的目的。粗犷的思想才是人类智慧最原始的思想，当我们看到历史博物馆里那些造型奇特、质地粗糙的史前猿人所制造的简易陶罐时，会不会觉得很熟悉、很温暖呢？似乎那种粗犷的美不能用任何繁复的花纹所代替，那才是生命本真的样子。

【参考文献】

[1] 吴赣昌.微积分（上）[M].中国人民大学出版社，2011.1.

[2] 郭运瑞.高等数学[M].西安交通大学出版社，2010.12.

[3] 钱振勤.军事软实力向战斗力生成的内在机理研究——基于学习马克思主义军事指导理论最新成果的思考[D].南京师范大学，2012.

[4] 申前进.毛泽东军事思想对现代战争的启示[D].山东大学，2007.