方法本天成　“构造”巧得之
——浅谈高中数学解题中的构造法

王　华

(江苏省吴江中学，215200)



○解题研究○

方法本天成“构造”巧得之
——浅谈高中数学解题中的构造法

王华

(江苏省吴江中学，215200)

数学构造法是指在解决问题时,构造与原问题有关的数学模型,通过研究这些数学模型,找到解决问题的方法．它的基本原理就是借用一类我们熟知的问题性质,去探求未知问题的性质．

一、六种常见构造方法

1. 图形构造法

数学中的很多数量关系都隐藏着形的信息,利用图形中的相应信息可以很形象地反映出问题中的本质关系．图形构造法能为数与形构建一座桥梁,使问题更明朗化．

解法1(一般方法)依题意，有

由余弦定理，得4=b2+c2-2,即

b2+c2=6，

∴6=b2+c2≥2bc,即bc≤3，

解法2(构造法)根据三角形面积公式,∆ABC的面积底边是定值,只有高是变化的量,且和点A的位置有关,因此可以研究点A的特点．

如图1,构建平面直角坐标系,使得B(-1,0),C(1,0).不妨令A(x,y)，则

即x2+y2=2，

其中h为点A到BC得距离.

2. 函数构造法

构造函数法是数学解题中比较常见的方法之一.巧妙构造一个函数,利用函数的性质去解决问题,可以达到解题目的．

分析本题如果直接去研究不等式左边的条件,会比较难处理,因此本题首先应该对不等式进行等价处理．

解法1由题意,题中的不等式恒成立等价于不等式

对任意x∈R恒成立.

∴a<3.

解法2由题意，不等式等价于

∵f(t)在[1,+∞)上为单调增函数，

∴f(t)≥f(1)=3,即f(t)min=3,

∴a<3.

这两个方法虽然过程不同,但都是构造某一个函数,通过研究函数的性质,使问题得以解决．

3. 向量构造法

在高中数学中,向量知识往往是作为解题的重要工……