二次求导，解决函数问题的一把利刃

◇　云南　白金石



二次求导，解决函数问题的一把利刃

◇云南白金石

随着新课标改革的不断推进,高中阶段的数学教学逐渐向培养学生解决实际数学问题能力的方面转变.由于导数在解决函数问题中有着广泛的应用,因此与导数有关的内容成为新高考必考热点之一．二次求导是导数应用中比较困难的内容,但其在高考中出现的频率较高，所以作为数学老师,一定要教会学生利用二次求导方法来解决函数问题,这是学生应对高考的一把利刃．

下面笔者结合多年数学教学经验,就如何利用二次求导法解决函数问题发表一些看法,供参考．

1　二次求导,求取单调区间

我们知道导函数是用来判断原函数单调性的有利工具,如果导函数大于零,则原函数为增；导函数小于零,则原函数为减．这是函数一次求导的应用,但有时一次求导并不能确定导函数的值与零之间的关系,此时就需要对原函数的导函数再次进行求导,这就是二次求导．用二次求导来判断导函数的增减性,进而判断原函数的单调变化．

最后得出正确答案a>b．

具体过程如下：令g(x)=xcosx-sinx，求导得

g′(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.

当x∈(0,π)时， g′(x)<0,所以g(x)在(0,π)内单调递减， 所以g(x)

又因为0≤x1f(x2),即a>b.

本题的难点在于如何转变学生的解题思路,不能每次碰到求单调区间问题都使用画函数图象的方法．因为有的题目函数图象不易画出,一定要让学生学会变通,放弃图象法,而采用二次求导法,将会发现另一片新的天地．

2　巧用因子,求解取值范围

在一些求解某些未知数的取值范围的题目中,有些同学能够联想到一次求导和二次求导来解题,但是在面对解题过程中的一些复杂方程式，常感不知如何下手．

下面介绍一种方法——巧用因子．

xlnx≤x2+ax．

a≥lnx-x, a≥(lnx-x)max.

其实很简单,只要细心观察就能够发现巧用因子这种方法,只要透过这层面纱,下面如何解题就变得相对简单了．

作为老师不应该仅仅教会学生使用二次求导的方法,更要强化他们的应用意识以及在二次求导中需要的技巧．巧用因子只是其中的一种方法,老师可以在这种变通的方面多做总结与介绍,让学生不仅能用二次求导,更能够用好二次求导．

3　构造函数,求证不等关系

二次求导在很多问题中都可以使用,数学高考中的压轴题大多为函数问题,而且参照这几年来的高考可以发现,二次求导法在其中的应用是必不可少的．函数问题基本类型:求单调区间、极值、最值以及证明不等式恒成立等．这些题型都可以采用求导法来解决．在高中范围内一次求导不能完成问题解答,就再次进行求导,基本就可以解决了．

下面再以一道高考真题为例,讲解如何利用二次求导求证函数不等关系．

(1) 求f(x)的单调区间与极值;

(2) 求证:当a>ln2-1且x>0时,ex≥x2-2ax+1．

先对函数g(x)求导得g′(x)=ex-2x+2a,再对g′(x)求导得g″(x)=ex-2,令g″(x)=0，即ex-2=0,得x=ln2.

接下来列表分析:

x(0,ln2)ln2(ln2,+∞)g″(x)-0+g'(x)减极小值增

观察上表可以发现g′(x)≥g′(ln2),所以须求出g′(ln2),才能继续向下分析．老师要引导学生逐步分析题意,只有知道下一步如何走,学生才不会对数学的压轴题感到恐惧．

根据所求得的g′(ln2)可以发现,g′(ln2)>0,所以g′(x)>0，g(x)在(0,+∞)上为增函数,可以判断出g(x)>g(0)，而且g(0)=0．即可证出上述不等式．

这种求证不等式的问题,都会有一个零点,例如原函数在x=0时的函数值为0，这是解题的关键,本题也是如此．正是由于g(0)=0,这道题才有解下去的可能．抓住这一点,便找到了解题的突破口．

二次求导的应用很多,它是解答函数问题的一把利刃．掌握好二次求导法的应用,学生基本就可以从容地面对高考中的函数问题了．老师要多为学生考虑,考虑到学生对高考的恐惧与顾虑,在数学思想与解题方法中给予学生最大的帮助．掌握了数学的核心思想与核心手段,解题即可得心应手．

云南省玉溪市新平县第一中学)