初中数学教学中数形结合思想的渗透

石泽定

（坪坝镇九年制学校 湖南古丈 416301）

初中数学教学中数形结合思想的渗透

石泽定

（坪坝镇九年制学校 湖南古丈 416301）

数形结合思想是初中课本中的基本数学思想，在初中数学教学中扮演着十分重要的角色。本文结合了本人的一些教学体会，分析了如何充分利用数形结合思想在教学中的运用以及去解常见数学题目，使学生充分认识“数”和“形”之间的内在联系，把问题化繁为简，化难为易，使学生在学习数学知识中，充分了解和掌握数形结合这种解决问题的策略和方法。

数形结合 思想 解题

引言

数形结合思想在初中数学中应用广泛。初中数学最初是从有理数、相反数和绝对值开始的，尤其是数轴的引入是数形结合思想的一个重要展现。因为对任何一个有理数来讲，数轴上都有唯一一个点与它对应，然后通过这种对应来规范它们的关系。这样通过渗透数形结合的思想方法，能够帮助学生正确理解有理数的意义及其运算。数形结合的思想给学生拓宽了解题思路，让数学变得不再枯燥。在日常的教学工作中，我主要是从以下几个方面解决常见问题的：[1]

一、运用图形的直观解决数量关系

在数学这一学科中数和形是一种对应关系，对于初中的孩子来说数字永远是枯燥乏味的概念，人人都难以把握，而形就不同了，它具有直观形象的特点，对解决问题起决定性作用，因此我们找到数形的对应关系利用图形来解决问题可以让复杂的问题简单化。

例1：分解因式：a2−b2这个分解因式的题目非常简单，是同学们非常熟悉的公式——平方差公式：a2−b2=(a+b) (a−b)，有时也就是直接用这个公式来套用进行分解因式的。但是有不少学生却不能理解a2−b2=(a+b) (a−b)这个公式？有些同学虽说理解，但也是从整式乘法公式(a+b) (a −b)=a2−b2的逆用来理解的，相当于死记硬背来掌握的。理解平方差公式a2−b2=(a+b) (a−b)，我们可以从几何图形出发来理解。

如左图，在边长为a的正方形纸板中剪去一个边长为b的小正方形后，剩余图形的面积是（a2−b2），把左图的剪下小正方形后的剩余图形拼在一起，得到右图，是一个长方形，其长为（a+b），宽为（a-b），面积为（a+b）（a-b），所以可以得到a2−b2=(a+b) (a−b)。

其实除了理解平方差公式的意义可以用几何图形面积来帮助分析外，还有完全平方公式等其它的整式乘法公式或分解因式公式，可以用几何图形面积来帮助理解其意义。

A、3 B、2 C、1 D、0

分析：直接化分式方程为整式方程，确定方程根的个数，是十分困难的事，结合问题特征，要将“数”转达化成“形”去研究。

解：把方程化为抛物线

y1=−x2+5x+2与双曲线分别画出草图，在x>0的范围内，两函数图象有两个交点。

通过这种“数”与“形”的转化，使本来很难解的题目，变得解起来得心应手了。解此类题目，主要是我们是否能够把代数问题转化为几何问题，把握得很好。也就是说，这些代数问题怎样转化到几何性质问题上来，才是解题的关键。

二、利用数量关系揭示几何图形的性质

虽然形形象、直观，但还必须借助代数的计算进行定量研究，尤其是较复杂的“形”，把图形数字化做正确是一件有难度的事情，这就要求用心观察图形，掌握它的特点，将隐含条件找出来，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算。

例3、等腰三角形的面积为2，腰长为5，底角为，求tanα。

分析：本题是斜三角形问题，因此要作高化斜三角形为解直角三角形。但是本题又没有给出三角形的形状，所以在画高时就要考虑高在三角形内、三角形上和三角形外三种情况，这是一种解题方法，但非常麻烦，我们可以考虑用数形结合的思想来解决本题，用数学中的方程或方程组来解。

本题应用了数形结合思想，“形题数解”往往可以使求解思路新颖，而且几何中的多解问题可以转化为方程或方程组的多解问题。

例4、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下的规律，拼成若干个图案：

（1）第四个图案中有白色地砖＿＿＿＿＿＿＿块；

（2）第n个图案中有白色地砖＿＿＿＿＿＿＿块。

分析：本题是借助于图形中的数量关系来解决问题，第一个图案中有白色地砖6块，第二个图案中有白色地砖10块，第三个图案中有白色地砖14块，根据前面的分析，很快就能判断出第四个图案中有白色地砖18块，并且每个图案比前一个图案增加4个白色地砖，所以第n个图案中有白色地砖4n+2块。

北师大版七年级数学上册第三章“字母表示数”，本章的不少小节的内容是探索几何图形（或几何图案）的数量关系，教学中，老师指导学生会用代数式表示几何图形（或几何图案）的数量关系，老师若注重了数形结合思想方法的渗透，会使学生很快领悟几何图形（或几何图案）的规律，从而找出其中的数量关系。

三、将数量关系和图形的性质，在解题中串连结合使用

“数”与“形”既是数学教学中两个对立面，最终还得为解决问题达成一个统一。观察图形的形状，从感观上认识问题，深入分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，将抽象的数字变化为直观的形象，进而揭示其中隐含的数量关系。数形结合的基本思想方法，就是在探究问题的过程中，注意把数和形作这一个统一体结合起来考察，在大脑中形成一个具体的意向，把图形的性质问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题变简单，抽象问题更形象，将难度系数降低，运用简单易行的方法获得解决问题的途径。

不久前在给学生中考复习过程中，遇到了这样的一个题目：

我们可以这样理解，用剪刀去剪这个正方形纸片，第一次剪去正方形纸片的一半，正方形剩余面积是，第二次剪去剩余图形的一半，得到的图形面积是第三次剪去第二次剪剩的图形的一半，得到的图形面积是即每次剪去前一次剩余图形面积的一半，……那么当第n次剪后得到的图形面积是，把每次剪下来的图形面积相加，即得到

总而言之，“数无形不直观，形无数难入微” 。见到数量就要考虑它的几何意义，见到图形就应考虑它的代数关系，运用数形结合的思想解决数学问题。因此数形结合思想在初中数学教学中起着举足轻重的作用。

[1]沈文选； 中学数学思想方法；湖南师范大学出版社；1999.5

[2]2008安徽省中考经典头名卷数学；安徽教育出版社； 2008.2