含参数的一元二次不等式的解法

刘艳玲（山西省吕梁市离石区江阴高级中学）

含参数的一元二次不等式的解法

刘艳玲
（山西省吕梁市离石区江阴高级中学）

含参数不等式的求解问题一直是高中数学的一个难点，求解这类问题，需要学生具有一定的分析能力和掌握相应的解题技巧。

含参数的不等式；分类讨论；解法

所谓含参数的不等式，就是指除含未知数之外还含有参数的不等式。此类不等式，往往因参数的取值范围不同，解集也不同。这类问题是中学数学的难点之一，学生对其常常难以驾驭，因此有必要研究其解法。本文重点讨论形如ax2+bx+c〉0（或ax2+bx+c＜0）的一元二次不等式模型，谈谈分类讨论思想在解不等式中的简单应用。

一、根据对应方程根的大小进行分类

例1.解关于x的不等式x2-（a2+a）x+a3〉0。

分析：先利用因式分解确定对应方程的两根，对两根的大小进行分类讨论。

解：原不等式可化解为（x-a2）（x-a）〉0。

（1）当a2〉a，即a〉1或a＜0时，原不等式的解集为｛x|x＜a或x〉a2｝。

（2）当a2=a，即a=1或a=0时，原不等式的解集为R。

（3）当a2＜a，即0＜a＜1时，原不等式的解集为｛x|x＜a2或x〉a｝。

综上所述，当a〉1或a＜0时，原不等式的解集为｛x|x＜a或x〉a2｝。

当a=1或a=0时，原不等式的解集为R。

当0＜a＜1时，原不等式的解集为｛x|x＜a2或x〉a｝。

规律总结：当不等式对应方程根的大小不确定时，必须讨论根的大小，以确定不等式的解集。

二、根据二次项系数的符号进行分类

例2.解关于x的不等式ax2+（1-a）x-1〉0。

分析：先利用因式分解对不等式进行因式分解。因为二次项系数含有参数，因此需要对a与0进行分类，若a≠0，则需要比较两根的大小。

解：原不等式可化解为（x-1）（ax+1）〉0。

1.当a=0时，原不等式为x-1〉0，则x〉1。……