反证法在初中数学教学中的应用

广东省广州市番禺区沙湾镇象骏中学 欧阳秋霞



反证法在初中数学教学中的应用

广东省广州市番禺区沙湾镇象骏中学 欧阳秋霞

摘要：反证法在数学知识中占据了重要地位，对于学生逻辑思维能力、实践解题能力的培养具有良好效果。初中是学生接触高层次数学知识的基础阶段，灌输反证法的相关知识有助于开发学生思维，帮助其打下坚实的数学基础。本文探讨反证法在数学教学中的价值，解读反证法应用于数学教学的必要性，提出几点科学运用反证法的建议。

关键词：反证法 初中数学 教学实例

一、反证法的教学价值

牛顿说：“反证法是数学家最精良的武器之一。”初中数学中反证法不仅是常见的数学解题证明方法，同时也是培养学生逻辑思维的教学重点。初中数学教材对反证法的学习要求和例题讲析不难发现，反证法的适用范围非常大，包括否定性命题、无穷性命题、限定式命题、逆命题、不等量命题等。

初中数学教学中反证法有着十分重要的教学意义，具体表现在以下三点：其一，反证法是初中数学教学的必讲内容，是学生解答习题必须学习的解题方法；其二，反证法能培养学生的逆向思维能力，提高思维创造能力；其三，反证法能加强学生对命题思考的判断、分析、解答等综合能力，使学生更好地发散思维，敢于证明、善于证明。

反证法的运用大致分为三个步骤：首先，假设需要证明的结论的反面是正确的；其次，通过逻辑推理得出与已知定理、定义以及数学公论、命题、已知条件等矛盾的结论；最后，说明该假设是不成立的，由此证明命题所要求证明的结论是正确的。

二、反证法在教学中的实例解析

1.实例解析

此类命题运用反证法时要仔细区分命题中所给的“不小于”“至少”“至多”“最多”“不大于”等词语。

（2）以不等量命题为例，如图1所示，在锐角△ABC中，已知∠C＞∠B，求证：AB＞AC。

分析：这道题可以用平面几何的知识解决，也可以运用反证法加以证明。

图1

证明：假设AB小于或等于AC，即AB≤AC，此时应分两种情况讨论：

若AB=AC，则△ABC为等腰三角形，所以∠B=∠C，该结论与已知条件∠C＞∠B矛盾。

若AB＜AC，在AB延长线上取一点D，使AD=AC，连接DC。因为AD=AC，所以△ADC为等腰三角形，所以∠ADC= ∠ACD，因为∠ABC为△ADC的一个外角，所以∠ABC＞∠BDC=∠ACD，而∠ACD＞∠ACB=∠C，所以∠ABC＞∠C，即∠B＞∠C，该结论与已知条件相矛盾。

所以上述两种假设均不成立，原命题得证。

所以AB＞AC。

（3）以基本命题为例，如图2中直线a、b相交于点P，求证：a、b只有点p这一个交点。

图2

证明：假定直线a、b相交的点不止一个，那么直线a、b至少有两个交点P、Q。

直线a是由P、Q两点确定的直线，直线b也是由P、Q两点确定的直线，得出P、Q两点确定了两条直线a、b的结论，而这一结论显然与已知公理“两点只确定一条直线”之间相互矛盾，所以直线a、b是不可能有两个交点的，原命题得证。

2.教学注意

应用反证法时应注意以下几点：

（1）正确地否定结论，如条件所给的“至多有2个”表示的是“只有1个或2个”或是“1个都没有”。否定结论正确与否，决定学生继续解题的反正思路是否正确，直接影响最终答案。

（2）了解和掌握运用反证法出现的各种矛盾，合理设计命题的矛盾证明点，采用临时假设引出矛盾，结论与真命题相矛盾或是通过结论相互矛盾等方法进行合理反向证明。

综上所述，反证法是一种十分重要的数学证明方法，它能有效解决数学知识中蕴含的问题。将反证法运用于数学教学中对于改善学生的思维局限性，提高学生的应变能力有着重要意义。作为一种典型的逆向性思维方式，反证法不仅能帮助学生研究数学知识，同时还能不断启发学生，使其研究并掌握更多的解题和学习思路。将反证法运用于数学教学中不仅需要教师具备相当的教学能力，同时对于课堂环境、师生关系也有较为严苛的要求。

文章编号：ISSN2095-6711/Z01-2016-04-0187