以圆为背景的最值问题探究

☉江苏省常熟市浒浦高级中学 唐雪芳

以圆为背景的最值问题探究

☉江苏省常熟市浒浦高级中学 唐雪芳

处理解析几何中的最值问题的常规方法：将几何问题代数化后构造目标函数，再利用函数最值问题的方法求解.圆既是平面几何的重要图形，也是解析几何的重要曲线，解决与圆有关的问题既可以利用几何法，也可以利用代数法.此类问题能有效考查考生灵活应用所学知识解决问题的能力.本文以圆的有关最值问题的求解为例，就其中所涉及的方法举例分析.

一、引例说明

例目（2016年上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，-1），P是曲线y=上的一个动点，则的取值范围是____________.

本题是以圆为背景、以向量为视角的最值问题.坐标法是解决向量问题的重要方法，通过引出点的坐标，利用向量坐标的数量积公式，将几何问题代数化，进而将所求最值问题转化为函数最值问题处理.三角换元法、均值不等式法、导数法是求解函数最值问题的重要方法.下面从几个不同的视角解答此题.

二、解法探究

1.利用圆的参数方程

方法1：将曲线方程变形得x2+y2=1（y≥0），即为圆心在坐标原点，半径为1，在x轴上方的半圆.故由圆的参数方程可设P

2.利用均值不等式

评析：利用坐标法将所求最值转化为函数最值处理，根据函数的特征，将函数平方后，转化为可利用均值不等式的类型.本解法在构造均值不等式过程中，通过将函数的局部进行平方，构造出和为定值的形式.利用均值不……