椭圆背景下的线线平行证明一例

☉安徽省太和中学 阮飞

椭圆背景下的线线平行证明一例

☉安徽省太和中学 阮飞

著名数学教育家波利亚说过：“没有一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨与研究，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们都能提高自己对这个解答的理解水平.”

——题记

一、问题的提出

已知两条曲线E1=1（a＞b＞0，x＞0）和E2，过原点O的两条不同直线l1和 l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点.证明：A1B1∥A2B2.

图1

如图1，不难发现曲线E1和E2分别是离心率相等的两椭圆=1（a＞b＞0）和1（a＞b＞0，λ＞1）的一部分.试题以椭圆的相似性为背景，突出椭圆方程的

考查；渗透数形结合的思想、函数与方程的思想；强调解析几何的基本方法——坐标法、向量的工具性.题目融平面向量、平面几何、解析几何知识于一体，目的是考查知识综合运用能力.

二、问题的探索

要证明两条不同的直线平行，教材中给出的方法有：证明两条直线的方向向量平行、两条直线的斜率相等（要判断斜率是否存在）、利用平面几何知识.

1.证明两条直线的方向向量平行

必修4教材中给出的方法：若直线A1B1，A2B2的方向向量分别为，要证AB∥AB，1122只需证，只需证

证法1：设直线l1，l2的方程分别为y=k1x，y=k2x（k1，k2≠0），

同理可得B1

由于直线l1过原点，A1，A2两点在l1上，故.通过设A1（x1，y1），A2（mx1，my1），可使用“设而不求”的方法.

证法2：A1，A2两点在直线l1上，可设A1（x1，y1），A2（mx1，my1）（m＞0），

同理可设B1（x2，y2），B2（nx2，ny2）（n＞0），且n=λ.

所以A2（λx1，λy1），B2（λx2，λy2），

另外，结合选修4-4教材中椭圆的参数方程，我们可以把椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式.

证法3：由题意可设A1（acosα，bsinα）

因为A1，A2在直线l1上，所以

同理……