换元法求解函数问题例说

☉江苏省南京市溧水区第二高级中学 王敬全

换元法求解函数问题例说

☉江苏省南京市溧水区第二高级中学 王敬全

函数问题是近几年高考的重点和热点，也是学生学习的难点，对于一类值域问题，使用换元法解决是一种常见方法，下面笔者结合平时的教学实践谈谈换元法解决函数问题.

一、巧用换元法求解函数最值问题

在函数的一类求最值问题中，常常可以配凑成平方和的形式，此时可以利用同角的三角函数进行三角换元，达到减少未知量的目的.

例1若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是______.

三角换元法是一种常见的数学方法，利用它可将代数问题化为三角问题，然后利用三角函数的性质简单解决.

二、巧用换元法求无理函数的值域

对无理函数的值域求法通常有判别式法、三角换元法、构造平面向量法、构造截距法、构造点到直线的距离法等.但最直接的思想就是将无理函数的值域问题转化为有理函数的值域问题.即通过变量换元法将无理函数的值域问题转化为有理函数的值域问题，思路新颖别致.

1.巧引斜率进行换元

（1）如果三项式ax2+bx+c有相异实根λ，μ，即ax2+bx+ c=a（x-λ）（x-μ），则可令.其几何意义是：如果三项式ax2+bx+c有相异实根λ，μ，则二次曲线y=与x轴交于两点（λ，0），（μ，0）.过其中一点例如（λ，0）的割线为y=t（x-λ）.对于斜率t取定值，二次曲线与它的割线有另一个交点.显然，当t在某一范围内连续变动时，这些交点（x，y）描出二次曲线y=为借助参数t表示坐标x，将两边平方得到t2（x-λ）2=ax2+bx+c，但点（λ，0）在二次曲线上，因……