四面体外接球的半径求法

李海玲●

新疆巴州马兰中学 (841700)



四面体外接球的半径求法

李海玲●

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四面体的外接球问题，作为高考的一个常考知识点，在历年高考题及多地模拟试题中总能见到它的身影，在此将四面体外接球的问题做一说明.

一、任意四面体外接球的存在性

我们知道，任一三角形都存在外接圆，且三角形外接圆的圆心是三角形各边中垂线的交点.是不是四面体也存在相似的性质呢？

已知：四面体ABCD，△ABD的外心为O1，△BCD的外心为O2，EO1⊥面ABD，FO2⊥面BCD.

求证：EO1与PO2相交于一点O，O到各顶点距离相等.

设O1E∩O2F=0(显然O1E与O2F不可能重合或平行)，则O点到A、B、C、D各点距离相等.

因为O∈O1E，所以O点到A、B、D三点距离相等(★).

O∈O2F知点O到B、C、D三点距离相等,

所以O点到A、B、C、D四项点距离相等.

由此可知，点O为四面体ABCD的外接球的球心，从而证明了任意四面体都有外接球.

二、常见题型分析

题型1 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体.

题型2 出现两个垂直关系，利用直角三角形结论.

原理 直角三角形斜边中线等于斜边一半，球心为直角三角形斜边中点.

题型3 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解.

例题3 已知在三棱锥A-BCD中，AD⊥面ABC，∠BAC=120°，AB=AD=AC=2，求该棱锥的外接球半径.

题型4 四面体是正四面体

已知正四面体A-BCD，H为底面的中心，O为外接球的球心，设棱长为a，外接球半径为R，内切球半径为r，试求R.

[1]赵光明.任意四面体外接球半径的计算公式[J].数学教学与研究,1988(06)

[2]贾玉友.正四面体外接球的几个不变量[J].数学通讯,2001(03)

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1008-0333(2016)28-0022-01