问题驱动模式下高等数学目标、路径与课程建构研究

高瑞华

摘要：高等数学是培养数学思维的重要课程之一，也是洞晓数学抽象性，厘清数学思想发展变迁的重要载体。在大学阶段，如何构建数学教育的目标，如何从激发学生问题意识上，探寻数学认知的有效路径，提升学生对数学的学习效果。本文将从数学辩证思维入手，就高等数学课程教学模式建构展开探讨，突出数学思想的领悟，强调数学认知与数学思维的养成，增强学生对数学内在逻辑性的理解和掌握。

关键词：高等数学;问题意识;教学目标;路径建构

中图分类号：G642.0 文献识别码：A 文章编号：1001-828X（2016）027-000-02

在高等数学教育中，首先是将数学作为一种思维体操，提升学生的思维力、抽象力，促进学生养成良好的数学认知。如果将数学作为纯粹的知识体系，那么，当学生看到“拓扑学”、“实变函数”、“泛函分析”等抽象知识时，其实数学已经变成了一把思维的筛子，让更多的学生被所谓的数学知识“过滤”掉了。在这种情形下，数学兴趣谈何说起？学生对数学的积极性如何激发？现代教育理论与教育实践的发展，对于高等数学教学，应该逐步走出传统抽象性、逻辑性思维的窠臼，将数学进行逐级分化，兼顾不同层次学生的数学认知需求，更多的提升广大学生的数学思维和认知力，强调对数学课程的应用。如在学习偏微分方程时，如果仅仅依据其数学理论来讲解，势必会带来学习障碍，而如果能够与具体的学科实例问题相结合，从实例教学中来展示偏微分方程的求解与应用，则更能够增强广大学生学习兴趣，提升高等数学教学实效性。为此，以问题意识为导向，立足高等数学课程教学实际，从探索数学认知、构建数学教学目标上提出优化路径，增进学生对高等数学的理解与应用。

一、问题是启发认知方式、搭建认知结构的重要目标

大学不是纯粹传授知识的，更在于对学生认知方式、认知结构的塑造。美国学者奥苏伯尔提出“智”是构成学生认知结构的单元，而智育是塑造学生认知方式的重要途径。在对认知结构的分析上，知识是认知内化的基础，也是构成认知结构的条件。对于大学阶段的数学教学，以纯数学为分支的课程主要有代数类、分析类、几何类等内容，相同类型的课程，其培养思维的方式也类似。如在数学分析类课程中的复变函数，多建立在“数学分析”基础上进行实数域推广。同时，实变函数作为病态函数的精致化表现，也是提炼数学分析思想的重要内容。再如泛函分析，将几何、代数及古典分析融为一体，探讨无穷维空间上的函数变化理论。可见，弄清楚不同数学课程的知识结构特征，对于优化数学教学，构建良好的数学认知具有重要意义。通常情况下，问题是知识启发的工具。对于数学问题多指向未知领域的认识。当然，教学目标作为知识与经验的集合，决定了采用何种教学方式，来引导学生从已知到未知，渐进获得数学能力。我们可以将学生头脑比作一个箱子，对于问题就好比有待填充的空间。教学的过程，就是将前人的知识与经验，通过问题解决的过程来转变为学生的认知，塑造学生的认知结构。也就是说，数学知识在进行教学中，要尽量拟合活的经验和知识，引导学生从一般思维活动中来内化为自我知识，掌握相应的数学分析方法。如果在构建数学教学目标上，提出的要求过高，超越学生的现有思维认知水平。如希望每个学生都能成为数学家，将数学教学转换为数学研究，则难以拉近学生对数学的认知距离，更不利于学生习得数学。当然，数学教学应该有一个合理的目标，正如高尔基所言，目标具有激励、导向作用，目标能够激发学生的学习斗志，推动学生进行研究性学习，从而革新认知方式。

二、问题导向下高等数学课程教学路径选择与建构

针对数学教学中的问题导向，在把握数学认知点过程中，需要从理论讲解、学科特性以及不同教学方法的运用中来获得认知效果。

1.对于浅层数学问题转换为逐级抽象认知理解方式

数学学科知识具有系统性、抽象性，对于浅层数学知识点，在讲授方法上要注重数学技能修养的培养，特别是对学科本质性知识的讲解，要能够结合学科本性特征来延伸。数学知识中的结构模型通常是搭建教学体系的重要手段，其重点在于教师能够根据学生对象的认知需求和实际，灵活处理教学内容，并对教学知识进行合理化组织，强调师生间的相互交流与互动。在浅层知识内容学习上，由于涉及的知识点不深，以常规教学模式为主，也需要导入研究性教学，面向学生以吃透学科知识为根本。当然，对于数学知识本身的抽象性特征，在选择教学内容、教学方法上，还要考虑到学生认知的广泛性、易受性要求。由于抽象性学科在思维认知上具有高度凝炼特征，特别是对于数学来说，其高度抽象性很容易抑制学生的学习兴趣。不过，数学本身的抽象性也具有层级特性，遵循逐级发展特点。在数学知识讲解上，可以以一些具体的抽象概念为基础，来渗透其他抽象概念，以顺应广大学生的心理运算实际。如在学习实变函数时，先导入上极限、下极限概念，从这些浅层概念理解上，形成认知意识，接着再引申出实变函数概念，由此来把握抽象概念的认知点，增进学生对实变函数的理解。当然，在抽象概念讲解上，对于数列的上、下极限，要从概念、定义、表示方式等方面进行呈现，让学生从逐级抽象过程中来形成对复杂抽象概念的渐进理解。

2.在数学认知过程中融入文化内涵

从数学发展史来看，其数学认知过程并非渐进提升，而是迂回曲折的。对于数学概念中的奇闻轶事，往往能够激发学生的求知热情，提升对数学概念及数学学习的兴趣。在数学发展史上，三次数学危机的发生，将数学史变得跌宕起伏而又趣味横生。一种认知观念的形成总是与其研究视角的变化有关。如非欧氏几何提出的反驳欧氏几何的论断就是明证。欧几里得提出，过直线外一点只能作一条平行线。而罗巴切夫斯基却提出反驳意见：过直线外一点能作多条平行线。两种几何理论的对立，首先碰撞的是研究事物的视角迥异。在面对质疑与不解声中，罗巴切夫斯基并未获得其数学史上的赞誉，而是接连不断的学术打击，甚至连数学家高斯都未给予支持。从几何学的发展历程来看，认识视角的变化所带来的学术革新是巨大的尤其是数学研究领域，其实例比比皆是。如数学中的局部微分几何与整体微分几何学的对立，其认识视角由局部到整体的转变，也将数学概念拓深至更广阔的认识领域。还有极限概念的提出，极限作为数学研究中的重要概念，可以说，没有极限就没有微积分，更没有现代数学的发展。然而，基于极限概念的上、下极限数列的提出，将代数学与几何学实现了连接，将距离逼近的角度定义为一列变动的数来刻画未知的常数。由此可见，对于上、下极限的认识视角，将集合论作为研究距离逼近视角的研究范畴，不仅涵盖了实数直线几何结构，还推进了极限概念的广泛应用。

3.运用数学思想来表征数学理论的实质

数学学科并非纯粹的数学知识累积，也渗透了鲜明的数学思想。数学思想不同于一般数学理论，而是基于科学思维的抽象表达方式。当然，对于同一数学思想，可以用不同的数学语言来表达，也可以渗透不同的数学理论，便于学生从中来理解和应用。多元表征理论作为对信息论的多视角解释方法，有助于学生从旧知识上升至对新知识的理解，有助于实现学生认知结构的迁移和转换。从数学中子列收敛性来看，数列的上极限是涵盖所有收敛子列中最大值，而对于聚点来说，上极限却是数列的最大聚点;从确界的视角来看，上极限是基于上确界的递减数列的下确界。由此来看，同一数学知识及理论，在不同的视角及数学语言表征上可以不同，尽管数学的符号化、形式化是数学表征的采用方法，但对数学思想来说，其活泼的科学思维更具美学特征。所以说，通过对数学本质的认知，将数学思想运用到数学思维培养上，让学生近距离感受数学，理解数学，增进学习数学的乐趣。

4.立足问题来驱动数学教学的开展

数学家哈尔莫斯提出“问题是数学的心脏”。从数学教学实践来看，问题是驱动学生认知养成的重要动力，特别是在构建问题认知情境中，利用问题来建构师生之间的交互状态，引导学生从中探究知识，了解和把握数学概念和数学方法。因此，在数学知识传递过程中，要将问题置于其中，借助于问题情境来展现数学逻辑脉络，让学生从不同视角来探究问题，启发学生掌握知识。

三、结语

研究数学的本性，探讨数学认知结构与规律，从激发学生数学思维与趣味上，拓宽数学课程建构模式。总之，对于人的认知结构来说不是封闭的，而是开放的，不断发展的系统。在数学教学上，要善于从合理教学目标的设定上，从问题的启发与导向上，构建良好的数学认知方式，推动学生去了解、去探究、去掌握数学知识，完善自我认知结构，才能够真正实现“授人以渔”的目标。

参考文献：

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