高中数学教学中创造性思维的培养

郭小东

摘 要： 创造性思维是中学数学教学中的重要内容，本文总结了前人的经验，从思维的独创性、变通性、发散性、跨越性四个方面论述了对学生创造性思维的培养。

关键词： 高中数学 创造性思维 培养途径

一、思维独创性的培养

思维独创性表现为有新颖独特的见解和与众不同的方法，勇于标新立异、别开生面。这是创造性思维的核心。数学教学中对思维独创性的培养，一方面要引导学生自主学习，独立思考，不依赖和盲从他人。另一方面要注重开发学生的创新意识，给学生发挥创造力的机会，鼓励学生的求异思维，敢于发表别出心裁的见解。

例如，立体几何课上，教师提问一位平时成绩一般的学生，怎样推导圆锥的侧面积公式。教师的本意是希望他说出课本上的展开法，不料该生的回答是：把圆锥化为正棱锥考虑，教师稍加思考后平静地说：“请你讲讲思路，好吗？”原来该生联想过去曾学过由正多边形的边数无限增加而趋近圆的思想求圆的面积，提出现在可类似让正棱锥的底面边数无限增加推导圆锥的侧面积，于是，刚才的嘲笑顿时换来一片惊呼，教师热情地称赞他：“已步入高等数学宫殿的门槛。”这种评价自然使学生倍受鼓舞。又如一堂代数课上，教师出示了一道解分式方程=的题，叫一名学生板演，学生一上去便变分子相等，这时，教师马上“提醒”他“解分式方程首先是去分母。”学生只好改变自己的想法，按教师的指导去做；本题如果让学生变分子相等去解，则过程要简捷得多。

教学中，不要扼杀学生的不同想法，正确评价其求异思维的价值。即使求异思维中提出一些不正确的想法，也要尽可能肯定其合理的成分，这样才有利于培养思维独创性。

二、 思维变通性的培养

思维变通性表现为思维敏捷，随机应变，善于灵活地转换观察分析问题的角度，使问题出奇制胜地获解。这是创造性思维的灵魂。“曹冲称象”、“司马光砸缸”故事中的妙法就相当于数学中的等价转换，教学中要加强对学生运用各种数学思维策略进行变换问题训练，使学生在分析解决问题的过程中提高思维变通能力。

例如：要证明1000>1999！，此式两边都是天文数字，直接比较很难着手。为此，可引导学生观察1000和1999这两个数，不难想到其有关系：（1999+1）÷2=1000。进一步点拨，让学生变换本题的表达形式，使其更明确地显露问题的实质，这样原题就转换为一个带有一般性的问题：求证：[]>n！（n为奇数）。由于新的“一般化”问题摒弃了非本质的枝节，因此，反而比原问题容易解决，只需应用基本不等式：>，即>，就可证得（）>n！取n=1999原问题即告解决。

又如要回答“某次乒乓球赛，采用抽签淘汰制进行，从100个选手中决出冠军，共要进行多少场比赛？”的问题，如按正向思维从胜利者角度出发，考虑出场和轮空的情况，则不胜其烦，若引导学生采用逆向思维，即从失败者角度考虑就十分简便。因为每一场比赛对应一个失败者。全部比赛有99个失败者（包括亚军），故总共进行99场比赛。

三、 思维发散性的培养

思维发散性表现为善于从各种不同方向角度和层次考虑问题，或在同一条件下得出多种不同结论。这是创造性思维的主导，数学教学中的一题多解、一题多变、一法多用等，可作为培养发散性思维的重要途径；例如“求sin10°+cos40°+sin10°cos40°的值”，课本上是通过降次与积化和差，再和差化积求得。掌握课本解法后，应引导学生根据式子的结构特征探讨一题多解。经启发，学生可逐步探索出四种新的方案：一是配方后和差化积；二是提出sin10后再和差化积；三是构造对偶式：cos10°+sin40°+sin40°cos10°联立组成方程组；四是构造内角为10°，50°，120°的三角形，再用正弦定理和余弦定理。在此基础上，引导学生进行一题多变，通过分析式中角度之间的特定关系，尝试把原题变为求：sin20°+cos50°+sin20°cos50°；sinα+cos（α+30°）+sinαcos（α+30°）；sinα+cos（α+60°）+sinαcos（α+60°）等式子的值，都可应用同样的方法。进一步探究又可得出一般规律：当sin（β-α）=或sin（α+β）=-时，有sinα+cosβ+sinαcosβ=1-a。

四、思维跨越性的培养

思维跨越性表现为思维不固守一般逻辑顺序，能省略某些步骤缩短过程，或跨越思维对象的相关度的差距，以类比联想接通媒介；这是创造性思维中最有活力的成分。数学教学中，要精心设计问题情境，提供恰当材料启迪学生进行大跨度类比，灵活运用形象思维和直觉思维，培养学生思维的跨越性。

例如，解析几何中有定比分点公式：x=，y=。公式的图形背景是一个直角梯形PPMM，其中过PP分点P的线段PM平行于梯形的底M，M，M分别为P，P在X轴上的射影。由此可引发学生联想：若将该直角梯形绕X轴旋转一周，得到的几何体是什么？再让学生回答问题：“设圆台的两底面半径为x，x，一平行于底面的截面分其高所得两段的比为m∶n，求截面半径r”。那么由立体几何与解析几何的“嫁接”就可得到简洁明快的解答：r==。又例如：“已知数列{a}中a=4，a=（n∈N）.求该数列的通项公式”。本题的一般解法过程较长，如果启示学生将递推公式①a=与物理中的并联电阻公式②R=S作一类比，那么学生立即会悟出一条简洁思路：由“②”的“前身”是=+，可对①式作逆向变形，得=+。于是发现{}是等差数列，就有 =+（n-1），故a=。显然这一新颖解法来自“遥距联想”和直觉顿悟。

创造性思维是由多种思维组合而成的一种复杂的思维活动，是各种思维相辅相成、有机结合、辩证统一的结果。著名科学家钱学森曾说：“实际上人的每一个思维活动过程都不会是单纯的一种思维过程，也绝不是单纯的抽象思维，总要有点形象思维，甚至要有灵感思维。所以，三种思维的划分是为了研究的需要，不是讲人的具体思维过程。”本文只从四方面简要论述了对学生创造性思维能力的培养，在其他思维品质的培养中如何发展创造性思维能力还有待进一步探索研究。