概率论教学中如何提高学生的思维能力

李年华

（华侨大学数学科学学院，福建 泉州 362021）

摘要：本文主要针对概率论教学中的一些问题（如学生觉得枯燥难懂、知识零散，无法提高自己的数学能力）结合自己的教学实践，研究如何增强学生在的思维能力，特别是思维的逻辑性、系统性、灵活性。

关键词：概率论；教学实践；数学思维

中圖分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）49-0214-02

一、背景

目前一般本科院校许多专业都开设有概率论与数理统计课程，主要是因为这门课程应用很广，数学基础要求也低（一般只要求学过基本的微积分即可）。由于本人所带学生大多为文科生，本文选用的教材主要是针对文科生的[1]而不是经典教材[2]。这里主要研究课程的概率论部分，主要例子为古典概型的概率和数学期望。通过这2部分内容说明如何培养学生良好的数学思维能力，增加他们学习的兴趣[3，4]。

我们知道很多文科生由于种种原因对数学很排斥，他们理解的数学就是复杂计算，毫无实际应用，因此教学中我们通过自己的一些实用方法和技巧以及生活中的例子锻炼培养学生的逻辑思维能力和应用能力，使他们在以后的工作学习中受益，这些都对对理论教学提出了很高的要求。

二、如何提高学生的数学思维能力

（一）增加学生的兴趣

兴趣是最好的老师，所以第一堂课我们可以举出一些很好的故事和例子把学生引进到这门课中，而不引起他们的反感。这里我选取概率论这门学科起源的一个十分有趣的故事：“1651年，法国一位贵族梅累向法国数学家、物理学家帕斯卡提出了一个十分有趣的‘分赌注问题。这两个赌徒说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么这个钱应该怎么分？是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？这两种分法都不对。正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的3/4，赢了3局的拿这个钱的1/4。为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者A赢，或者B赢。若是A赢满了5局，钱应该全归他；A如果输了，即A、B各赢4局，这个钱应该对半分。现在，A赢、输的可能性都是1/2，所以，他拿的钱应该是1/2×1+1/2×1/2=3/4，当然，B就应该得1/4。”这个问题引入了概率论中的一个十分重要的概念—数学期望。

（二）从简单基础出发，为学生学习做好铺垫

很多开始学习概率论的学生主要是大一大二学生，数学知识有限，我们需要在正式开始课程之前介绍些相关知识如排列组合。很多新时代的文科生对排列组合的知识知之甚少，第一堂课除了讲解概率论起源的这个故事外我们还通过一些实用的例子说明排列组合的主要原理。这样做的好处是学生在学习第一章中的古典概型时不会那么吃力，而且这些例子都很有趣难度适中适合锻炼学生清晰的思路。

（三）提出问题培养学生思维的灵活性

许多学生数学学不好的主要原因是思维僵化，比如他们对数学的印象就是算算算！其实数学的含义博大精深，算只是其中极少的一部分。为了培养思维的灵活性，我以三角函数sinx的值域为例，在任何可能的定义域内，sinx的值域最大是多少？几乎所有的学生都说是[-1，1]，而且他们深信不疑。然而我们知道显然值域不止[-1，1]。此外还可以介绍lni等一些他们容易形成思维定式的数学知识，这样不仅可以解放学生思维还可以极大提高他们的兴趣改变他们思维习惯。

1.通过典型知识点培养学生逻辑思维能力和系统思维能力。

（1）培养逻辑思维能力最好的知识点在第一章中的求解古典概型的概率。古典概型（等可能概型）为具有以下两个特征的随机试验：

①试验的样本空间只含有有限个元素。

②试验中每个基本事件发生的可能性相同。

例：这里我们以一个例子说明问题。4支球队随机被抽入4个小组，X表示没有球队的小组数，求P{X=1}。

依题意事件{X=1}为一个小组没有球队，其他3小组都有球队，显然这3个小组至少都有一支球队，因此必然有一个小组有2个球队，其他小组只有一个球队。我们将问题的求解分成2步。第一步确定球队的组合即那2个在一组，其余各自一组。第二步将组合的球队分到四个小组去。很多同学在这里理解不清，因为他们缺乏逻辑思维能力，容易多算或少算，我们可以仔细讲解这个例子使他们体会逻辑思维的重要性。

（2）我们知道求随机变量的数学期望对应不同变量有很多公式，如果不加理解很难记忆，下面我们说明如何系统的理解这些公式。

一维情形：

①离散型随机变量的数学期望：②连续型随机变量的数学期望：③随机变量函数Y=g（X）的数学期望：

二维情形：此时我们有E（X，Y）=（EX，EY）。

这么多的公式如何理解和记忆呢？其实只需要记住一句话：数学期望就是某点数值乘某点概率的全部和，这个和对于离散显然我们理解为一般求和，对于连续对应积分。这样上述离散情形的数学期望公式显然立即可以得到。对于连续情形，这时候某点概率为0，所以求和时我们考虑无穷小区间，以一维连续型变量数学期望为例。此时我们取任意点x所在区间为[x，x+Δx]，此区间的概率为f（x）Δx，此时我们得此区间上期望为如下形式的和xf（x）Δx然后求得即得积分运算。

参考文献：

[1]吴传生.经济数学-概率论与数理统计（第二版）[M].高等教育出版社，2009.

[2]盛聚.概率论与数理统计（第四版）[M].高等教育出版社，2008.

[3]丁正军.在概率统计教学中培养学生的思维能力[J].数学之友，2011，（4）.

[4]李顺华，范玉妹.概率统计教学如何培养学生的思维能力[J].北京科技大学学报，2001，（S1）.