高中数学教学需要注意学生思维的连贯性

吴飞飞

[摘 要] 应试背景下的高中数学教学，容易让学生的思维处于非连贯的状态. 而基于学生的思维特点与认知习惯，设计问题的表述方式与提出顺序，可以让学生的思维保持良好的连贯性. 长期进行这样的训练，可以让学生形成良好的思维习惯.

[关键词] 高中数学；思维；连贯性

数学是思维的科学，数学教学是思维的教学，特别是对于高中数学而言，由于学生已经有了充分的数学基础知识，而高中数学知识又是以这些知识作为建构基础的，因此建构过程中的学生思维就受到高度重视. 但目前面临的实际是，由于高考压力的存在，学生在数学知识学习中更多的是知识的积累与习题的重复训练，真正基于思维教学，真正以思维为主线的教学并不多见（当然在此过程中学生的思维会有所发展，但这种发展近乎是自然发生的，教学所起的作用尚待进一步发掘）. 笔者以为，这样的教学取向是有问题的. 当然，认识到这个问题本身并不难，难的是如何在当前应试评价的前提下，更有效地培养学生的数学思维. 考虑到当前已有的努力，笔者以为在注重思维的基础上进一步注重思维的连贯性，可以让学生的数学素养得到进一步的提升.

■为什么要注重思维的连贯性

为什么要注重思维的连贯性？这似乎是一个不需要问的问题. 但在教学实际中可以发现，学生在构建很多数学概念的时候，思维其实都是不连贯的. 举一个简单的例子，在“圆与圆的位置关系”这一内容的教学中，很多时候教师都会提出这样的一些问题：在同一个平面内如果有两个圆，那这两个圆可能存在哪些关系？你能举出这样的例子吗？你能用作图的方法表示你的想法吗？应当说这些问题在这一知识的教学中，可能不少教师都问过，但是我们有没有注意到在这三个问题的作用下，学生的思维可能会是什么样子的呢.

根据笔者结合教学经验去猜想，同时笔者找了教学班中不同层次的学生分别进行了调查，结果发现不同层次的学生在遇到这三个问题的时候想法既有相同的地方，也有不同的地方. 先说不同的地方，通常情况下，优秀的学生在听到第一个问题之后，会自动地在大脑中构思两个圆的位置关系，并能判断出相交、相离等关系. 即使他们穷尽自己的思考而没有新的发现之后，心里仍然存在疑虑：有没有自己没有考虑到的可能？而中等生需要通过自己画图或者讨论的方式去寻找结果，他们也能够发现最基本的位置关系，但并不能有效地拓展思维. 也就是说，当他们无法再发现新的位置关系时，就认为自己已经找全了圆与圆的位置关系. 至于学困生，他们往往是下意识地去生活中寻找圆的关系，此过程中有一个细节值得研究：很多学困生都能够想到奥运五环的图形，也能想到两个圆相离的情形，但这个时候他们所举的例子有空中的两个气球等（这种将立体图形简化成平面图形并获得认知，也是一种有趣的现象）.

由此可以看出，不同层次的学生在思考相同的问题的时候，思路是不一样的，尤其是思维的出发点是不一样的. 当然，这个过程中也有相同的地方，根据笔者的研究，不同层次的学生尽管形象思维或抽象思维出现的顺序不同，但都不约而同地用到了形象思维，都能有意识地去生活中寻找圆的原型. 这也说明了即使是高中学生，即使抽象思维能力已经有了充足的发展，但是形象思维仍然是他们惯用的思维方式.

更重要的是，上面三个问题的提出，实际上无法让不同层次的学生的思维处于一种连贯的状态，这也说明在提出问题的时候，要注意问题的方式与提出顺序. 只有这样，才能让学生的数学知识的构建更为顺利.

■怎样实现数学思维的连贯性

事实上，在实际的高中数学教学中，像上面这样的例子并不少见，因此可以不夸张地讲，很多情况下学生思维其实都处于不连贯的状态，这对于学生构建数学知识来说不是什么好的现象. 那么，学生思维不连贯的原因到底在哪里呢？又如何让学生的思维在高中数学学习的过程中更好地处于连贯的状态呢？笔者做出了这样的解释：

第一个问题. 笔者以为学生的思维不连贯更多的是由教师的“启发”引起的. 这里所说的启发既指教师有意识的问题的提出，也指教师在教学中可能的无意识的影响. 因为教师对于问题的设计，往往都是基于自己的教学经验的，比如说在上面的“圆与圆的位置关系”这一内容的教学中，包括笔者在内，都是从需要教学的内容倒推出来的问题：既然要学圆与圆的位置关系，那就问学生圆与圆可能存在什么样的关系；既然需要强调数学与生活的联系，那就讓学生到生活中寻找这样的例子；既然要培养学生的思维能力，那就让学生自己去举例. 问题在于，学生的思维习惯或者说顺序，并不由教师所决定，因此问题提问不当或顺序不当，学生的思维自然就极有可能处于不连贯的状态.

在上面分析的基础上回答第二个问题，就会发现保证学生在数学课堂上思维连贯性的关键，在于教师基于对学生认知规律的把握，去认真设计问题的表述方式与提出顺序等. 仍然以“圆与圆的位置关系”为例，考虑到学生构建这一知识时表现出的对形象思维的需要，笔者以为第一个问题或许应当这样提出：在生活中总会有一个面上出现两个圆的情形，大家先想想这些情形都有哪些具体的例子. 在学生寻找到生活中自行车轮圈、奥运五环、同心圆（此时非指数学意义上的同心圆图形，而是学生在生活中形成的同心圆认知）等例子之后，再提出第二个问题：如果给你一大一小两个圆圈，你会如何构建出不同类型的圆与圆的位置关系？这是一个让学生动手体验及动脑思考的过程. 在这个过程中，学生对圆与圆的位置关系可能不是很清晰，但一定可以在体验的过程中不断有新的发现，而每一个新的发现其实又是在前面思考的基础上，经过逻辑思考形成的. 这个过程中的思维非常充分. 最后提出问题：如果让你用数学语言来描述自己的体验、收获与所举的例子，你能发现圆与圆之间存在着哪些关系呢？

以上同样是三个问题，但是这样的提出顺序是符合学生认知逻辑与思维习惯的，是可以满足学生思维的连贯性的，因为从生活中寻找事例是全体学生的思维起点，而让学生动手体验同是全体学生构建数学知识的基本习惯. 这两个环节可以保证所有学生都有一个良好的圆与圆的位置关系的构建基础，同时也能激活学生的原有思维. 只有到了第三个环节，也就是用数学语言描述体验的时候，尤其是将数学符号表示不同的圆与圆的位置关系的时候，学生才有可能因为能力差异以及数学知识基础的不同而出现水平的高低. 这种情况某种程度上讲是不可避免的，而这样的问题与提出顺序，实际上将千万学生学习困难的影响降低到了最小，应当说是一种较好的保证学生思维连贯性的策略.

■如何判断学生思维的连贯性

这里还有另外的一个重要问题，那就是教师在课堂上如何判断学生的思维是不是连贯的. 毕竟，在教学之前根据自己的教学经验去设计教学，并预设学生思维可能的情形是简单的；而到了实际的课堂上，学生的思维是不是真的连贯，那就很难判断了，毕竟思维是学生内在的东西，不是一个可以直接观测的对象. 根据笔者的教学经验，学生思维在高中数学课堂上是不是保持连贯，可以从这样的两个角度来判断.

一是学生在课堂上的上课表情. 必须承认，如果教师能够让学生的思维集中到学习上来，那不同层次的学生在遇到同一个问题时，同一个学生在遇到不同难度的问题或者说知识建构的过程时，表现一定会有所不同. 这种不同是可以通过学生的学习表情来判断的：如果说学生在构建数学知识的时候，表情比较轻松，常常有微笑或会心一笑或得意一笑的时候，就说明学生的思维是处于连贯状态的；如果说学生在上课的时候愁眉紧锁，那么自然就是思维遇到了障碍.

二是学生与同伴讨论的情形. 当前提倡自主合作探究的学习方式，高中数学通过合作学习来促进不同层次的学生之间互通学习收获，现已经成为一种新常态. 在学生讨论的过程中，教师要深入到各个小组，听听不同层次的学生是怎么说的. 具体一点说，优秀的学生在讲某个知识点的时候思路是不是清晰，逻辑是不是合理（这可是高中数学最重视的两个内容）；而在听课时学生是不是真的听得懂，尤其是在听的过程中是完全被动地接受，还是有问题提出. 这些不同表现的背后，往往就反映着学生思维的差异，而思维的连贯与否就可以在此过程中判断出来.

当然，这两点只是笔者的经验之谈，而注重此话题的同行也一定有新的视角. 在这里笔者还有一点想强调一下，那就是学生思维的连贯性在高中数学学习的过程中是存在积极的迁移作用的，也就是说一旦学生的思维能够真正连贯起来，可以保证他们在其他数学知识的学习中会有一个更好的思维习惯，而这对于当前的高中数学教学来说，显然是一个不小的福音.