高中数学变量代换解题方法探究

浙江省常山县紫港中学 王 俊

高中数学变量代换解题方法探究

浙江省常山县紫港中学 王 俊

在高中数学的学习中，变量代换解题方法是一种灵活有效的数学解题技巧，也是一种数学思维方法。当数学问题中的结构较为复杂、变元较多时，可以引入一些新的变量进行代换，从而快速简化解决问题。变量代换的实质就是“化未知为已知、化繁为简”，在高中数学学习中应用变量代换解题方法，对于提高学生的逻辑思维能力和解决问题能力具有重要作用。基于此，本文对高中数学变量代换解题方法进行了探究，详细分析了几种较为常用的变量代换解题方法。

一、均值代换

对两个类似的算式，可以令其算术平均值为t进行代换。如果遇到形式如同a+b=S或者a²+b²=S这样的对称结构，可设，或者等等，这样的代换方法即为均值代换。

分析：根据求证要求，可以从题目中的条件“a＞1，b＞1，c＞1”想到“a-1＞0，b-1＞0，c-1＞0”，对后者进行均值代换，简化形式，便能快速求证。

分析：由已知“A+C=2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得A+C=120°，B=60°；由“A+C=120°”进行均值代换，设A=60°+α，C=60°-α，再代入可求cosα，即。本题由A+C=120°”、“”分别进行均值代换，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值代换外，还要求对三角公式的运用相当熟练。

解答：∵A+C=2B，且A+B+C=180°，

∴A+C=120°，B=60°，

设A=60°+α，C=60°-α，代入已知等式得：

二、三角代换

三角代换应用于去根号，或者把代数式换成三角式更容易求解时，主要利用已知代数式与三角知识的联系进行代换。比如求函数的值域时，容易看出x∈[0,1]，设x=sin²α，，这时问题就变成了熟悉的求三角函数值域，能够如此设定的关键是要发现值域的联系，并且有去根号的需要。再比如当变量x、y适合条件时，则可以用三角代换x=rcosθ、 y=rsinθ转化为三角问题。

四、整体代换

整体代换可以应用在以下问题情形中：如果在条件或者结论中某个代数式反复出现，那么我们就可以用一个字母来代替它。需要注意的是，在某些情况下需要通过变形才能发现。例如解不等式4x+2x-2≥0，这时可以先变形为设2x=t（t＞0），从而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

例6 已知f（x+1）为奇函数，f（x）=x·（x+1）（x＜1），求x＞1时函数f（x）的解析式。

解答：令x=t+1（t＜0），从条件f（x）=x·（x+1）（x＜1）可得：f（t+1）=（t+1）（t+2）。又因f（x+1）为奇函数，因此f（t+1）也为奇函数，所以-f（t+1）=f（-t+1），f（-t+1）=-（-t-1）·（-t-2）。令T=-t（T＞0），则f（T+1）=-（T-1）（T-2），因此f（T）= -（T-2）（T-3），所以f（x）=-（x-2）（x-3）=-x²+5x-6（x＞1）。

总之，变量代换解题方法可以广泛应用于高中数学问题的分析解答中，并能收到奇妙的效果。高中数学教师要在日常教学中渗透变量代换解题思想，引导学生掌握变量代换解题方法，逐渐提高学生的数学分析能力和灵活运用变量代换解答数学问题的能力。