对一道高三数列模考题的阅卷思考*

李乃洋

江苏省海门中学 (226100)

对一道高三数列模考题的阅卷思考*

李乃洋

江苏省海门中学 (226100)

一、题目

已知数列{an}中，a1=1-λ，an+1=3an+λ(2n-1),n∈N*，λ为常数.

(1)设bn=an+λn，求证：数列{bn}为等比数列；

(2)求数列{an}的前n项和Sn；

(3)若S3为数列{Sn}的最小项，求实数λ的取值范围.

二、阅卷反馈

第(3)问考场学生的主要做法有如下几种：

点评：上述错解问题在于“n≥3时，Sn+1≥Sn恒成立；n≤2时，Sn+1≤Sn”⟹{Sn}中最小项为S3；而S3为数列{Sn}的最小项推不出{Sn}一定满足S1≥S2≥S3，S3≤S4≤S5…这样的单调特点，该做法的学生没有找到问题正确的等价转化思路.

点评：上面不完善的解法利用了最值的必要条件即S3在局部最小，得到的λ范围并不一定保证使得其为整个定义域上的最小项，所以该解法缺少充分性论证.

(3)漂亮的解法：

点评：解法1从数列{Sn}自身单调性入手，通过作差Sn+1-Sn确定其符号，证明发现数列从第3项开始具有递增特点，结合前几项的大小关系明确了最值项的位置.

点评：解法2也是从{Sn}单调性入手，但该类学生做法是灵活运用函数与导数知识处理单调性问题，解题方法能体现对“数列是一类特殊的函数”本质的理解，不愧为一种漂亮的解法.

(4)没有(或很少)看到的解法：

点评：解法3也是从数列{Sn}的单调性角度论证，但该解法直接将数列化归为一般的函数，利用导数研究定义域连续的函数单调性，在此基础上再回归到研究定义域是正整数(子集)的数列{Sn}的大小变化规律.

点评：解法4是从数列{an}自身的单调性出发，考虑an值的符号对求和Sn的影响.考生要理解S3最小⟺a1+a2+a3达到和最小，a1+a2+a3+a4+…+ai(i≥4)开始变大，所以需要判断ai(i≥4)往后的取值符号.

三、阅卷后的思考

1.学生暴露的理解缺陷

(1)对题目中概念的理解误区：“若S3为数列{Sn}的最小项，求实数λ的取值范围”中“最小项”指的是什么含义？误区1：S1,S2,S3递减，而S3往后递增，这里把{Sn}性质过于特殊化，因为题目并没有说明数列{Sn}的单调性情况，存在数列的波动性可能或周期性可能；误区2：最小项⟹S3≤S4且S3≤S2，这种解法反映部分考生对“最值”是函数定义域上的“整体”性质理解不够.

2.阅卷带给教学的启发

(1)复习教学要重视引导学生对概念学习的回归.此题中涉及最小值的概念，在函数中最值的定义是：设y=f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得对于任意的实数x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y=f(x)的最小值，记为ymin=f(x0).从定义中要请学生辨析“最小值”和“极小值”的区别，容易发现最小值是函数定义域上的整体性质，强调对定义域内的x的任意性，也可以转化为一种恒成立问题.

(2)复习教学要重视督促学生对常见问题(题型)解法的研究.以此题为例，学生有多种解题思路，但就个体而言参差不齐.所以讲评试卷时可以让更多学生来说一说(议一议)对题目解法的理解：(Ⅰ)通性通法的角度，数列的最值问题一般可以从什么角度入手？(Ⅱ)知识与方法的联系，数列是一类特殊的函数，对研究数列最值问题有哪些帮助？(Ⅲ)提问中特征表述的归纳.问题是关于求参数λ的范围，平时教与学中对参数范围的常见问题类型及解法做过一定总结归类，可以为后续解题较快找到合理解题思路奠定良好基础.

*本文为海门市徽课题《高中数学解题反思能力培养探究》研究部分成果.