圆锥曲线一个定值问题的研究
——2016年高考四川理科卷第20题的进一步探究

于兴江 孙玉英

山东省聊城市水城中学 (252000) 山东省聊城大学数学科学学院 (252000)

圆锥曲线一个定值问题的研究
——2016年高考四川理科卷第20题的进一步探究

于兴江 孙玉英

山东省聊城市水城中学 (252000) 山东省聊城大学数学科学学院 (252000)

圆的切割线定理是圆的重要性质，本文就2016年四川理科卷第20题做了进一步解析与探究，在一定条件的基础上，现将圆的切割线定理推广到其他常见的圆锥曲线中.

一、原题呈现(2016四川理科卷第20题)

(Ⅰ)求椭圆E的方程及点T的坐标；

(Ⅱ)设O是坐标原点，直线l′平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值.

二、拓展延伸

图1

注1：设O为坐标原点，⊙O为x2+y2=a2(a>0)，T(x0,y0)是圆上任意一点，过点T(x0,y0)的圆E的切线为l，平行于直线OT的任意直线l′(与OT不重合)与椭圆E交于点A、B，与直线l交于点P.则存在常数λ=1，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.

注2：上述结论1是圆的切割线定理的特殊情况.圆的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.即若PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线，则|PT|2=|PA|·|PB|.

注：证明过程可类比定理1.

定理3 设O为坐标原点，抛物线E为y2=2px(p>0)，T(x0,y0)(x0≠0)是抛物线上任意一点，过点T(x0,y0)的抛物线E的切线为l，平行于直线OT的任意直线l′(与OT不重合)与抛物线E交于点A、B，与直线l交于点P.则存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.

注：证明过程可类比定理1.

根据定理1、定理2、定理3综合得到：

定理4 设O为坐标原点，E为圆锥曲线，T(x0,y0)是圆锥曲线上任意一点，过点T(x0,y0)的圆锥曲线E的切线为l，平行于直线OT的任意直线l′(与OT不重合)与圆锥曲线E交于点A、B，与直线l交于点P.则存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.

[1]孙玉英,于兴江.探究引申剖析启示—一道高考题的赏析[J].中学数学研究(江西),2013,10.

[2]柳俊婷,于兴江.2015年山东理科第20题的多解分析及探究[J].中学数学研究(江西),2015,8.