对一道高三期末试题的推广*

刘 刚 赵 毅

北京市第十二中学高中部 (100071)

对一道高三期末试题的推广*

刘 刚 赵 毅

北京市第十二中学高中部 (100071)

在2017年1月北京市东城区高三期末理科数学出了这样一道试题：

(1)求椭圆C的方程；

试题考查了椭圆的标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系及以椭圆一组共轭直径为背景的线段比值问题，考查了坐标法的应用．经过对(2)问的一般化探究，可以得到下面的结论．

分析1:先设出点A，B，Q的坐标，然后表示出点P的坐标，利用B，Q，P三点共线进一步表示出点Q的坐标，根据点Q在椭圆C上，把点Q的坐标整体代入椭圆C的方程进行求解，体现了设而不求、整体替换的数学方法．

分析2:把涉及到的点的坐标借助椭圆的参数方程进行表示，然后进一步求解，参数法是解决圆锥曲线相关问题的重要与常用方法．

分析3：由于椭圆经过坐标伸缩变换可以变为圆，而圆有着很多几何性质，因此借助圆利用平面几何知识进行解决，可以避免繁琐的代数运算，使解题过程得到简化．

图1

在解题时，我们要透过现象看本质，尝试着从不同角度进行思考、拓展，提倡多解、多变，这样才能将一道试题的价值发挥到最大化，从而有效提高复习效率．

[1]刘刚，赵毅．一道高考模拟试题的探究[J]．中学数学研究(江西)，2016，11．

[2]刘刚，赵毅．一道高考模拟圆锥曲线试题的探究与启示[J]．中学数学研究(江西)，2016，12．

*本文系北京市丰台区"十三五"重点课题《新课程背景下高中数学竞赛教学研究》(课题批准号：2016237-J)阶段成果之一．