探讨数学思想方法在高中数学解题中的应用

陈素文

【摘 要】数学思想是数学知识的本质和灵魂，是解答数学题目的重要指导思想，也是发现和创新数学知识的重要源泉。在高中数学教学实践中，培养学生解题能力是关键之处，也是数学教学的核心目标。高中试题主要考察学生对数学思想及其方法的认识和熟练程度。所以，在高中数学教学中老师应该重视培养学生的数学思想方法和运用知识能力，教学生解题思维，全面提高学生的解题能力。本文结合实际例题，讨论了数形结合、函数与方程、转化与化归思想等数学思想在高中数学解题中的应用。

【关键词】 数学思想方法 解题技巧 数形结合 函数与方程 转化与化归

每门学科在发展的过程中都会形成独具特色且符合自身发展特点的思想方法，数学也不例外。那么数学思想方法到底是什么呢？数学思想是指人们认知现实世界的空间形式和数量关系，然后通过思维活动而产生的思想结果，数学思想是对数学事实与数学理论的本质认识。数学方法则是指把数学当作工具进行科学研究的方法，事物的状态以及关系变化的过程可以用数学语言进行表达，再经过一系列的思维活动，推导、运算和分析问题最终形成对事物的解释。数学思想与数学方法相比较，前者的抽象性和概括水平更高，后者更加具體和丰富，但是数学思想比数学方法更接近数学本质，内容更加深刻。数学思想和数学方法之间的关系相辅相成，数学思想是数学方法的精神实质和理论基础，而数学方法是数学思想的表现形式和实现手段。两者都属于方法论的范畴，也会被人们概括称为数学思想方法。

数学思想方法是提高学生解题能力的关键，由于数学思想方法经过提炼与概括，是对数学知识的本质认识，贯穿整个数学教学的实践活动之中，掌握数学概念、建立数学理论、运用解题方法、解决具体问题，都是运用数学思想方法的具体表现。数学思想方法属于思维的范畴，是对数学知识的正确认知，也是数学学科的精髓之处，只有较好地领会数学思想方法，才能灵活地运用它认识、处理和解决数学问题，越来越多的人把数学思想方法当作指导思想，运用数学思想方法求解数学问题。文章通过理论与实例相结合，分析高中时期数学教学中常用并且十分重要的三种数学思想方法，探讨这些数学思想方法在高中数学解题中的应用状况。

一、函数与方程的思想

函数与方程的思想贯穿整个高中数学教学之中，是解题最基本也是最重要的数学概念，在高考中的地位十分重要。数学中很多函数的问题都需要通过构建方程或函数关系来解决，利用方程与函数的性质相互转化、分析、解决问题。

通过下列例题分析函数与方程的思想：

例1：函数y=f（x），当y=0时，方程就可以转化为f（x）=0或y-f（x）=0；而方程f（x）=0的解是函数y= f（x）图象与x轴交点的横坐标.函数与不等式也可以相互转化，对函数y=f（x），当 y=0时，就是不等式f（x）=0，而求f（x）=g（x）的解则可比较y=（x）与y=g（x） 函数图象位置的交点而得到解。

函数与方程的思想两者之间的关系密切相关，在高中数学各个领域都会运用函数与方程的思想，解题中运用比较广泛。

二、数形结合的思想

数形结合思想主要强调“数”与“形”，主要用来研究空间形式和数量关系，决定几何与代数的联系。通过数形结合方法将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，再用图形描述这些抽象的语言，然后经过代数论证分析和解决数学问题。

在解题过程中，数和形的关系密不可分。把数和形相结合才能使抽象的数学知识形象化，让题目更加简单易懂，通过把抽象的数量关系转化为具体形象的几何图形，在几何图形中发现各个复杂数量之间的联系，经过数与形的转化，能够化难为简、化繁为易。举一个简单的例题分析数与形的转化关系：

例2：利用数形结合的方法解方程：丨x-3丨-丨x+2丨=4

解析：方法一，画出函数y=丨x-3丨-丨x+2丨的图象，求出其与y=4的交点的横坐标值，坐标值就是方程的解

方法二，画数轴，原方程的几何意义为3和-2的距离之差为4，得x=-1.5

在解题过程中，我们灵活运用数形结合思想，不仅可以提高学习数学的乐趣，而且可以提高对数学问题的理解力和解题能力，是全面提高数学素质的重要思想方法之一。

3、转化与化归的思想

转化与化归思想是把需要解决的数学问题通过某种转化过程，转化到已经被解决的问题或者相对容易解决的问题的一种重要思想方法。经过不断转化，把未知转化为已知、把复杂转化为简单、把抽象转化为具体。。

掌握转化与化归这一思想方法，灵活运用这一数学思想方法分析问题、处理问题是学好数学的重要条件。举一个例子简单描述转化与化归思想：

例3：已知△ABC的三边为a，b，c，且a?+b?+c?=ab+ac+bc，试判断△ABC的形状。

解：由题意知：a?+b?+c?=ab+ac+bc

所以2a?+2b?+2c?=2ab+2ac+2bc

即：（a-b）?+（b-c）?+（a-c）?=0

所以a=b，b=c；a=c

所以△ABC为等边三角形

要想正确而快速地解答題目，必须先认真研究分析题目所要考的数学思想方法，通过转化达到解题目的。转化时，一般会把实际的数学问题转化为数学模型；把一个领域的问题转化为另一个领域的问题，是所要解决的问题更加简单易解。

结束语：通过上述实例说明了在高中数学解题中数学思想方法的重要性。数学知识无穷无尽，所以它的思想方法肯定不止三种，本文只分析了高中阶段常用的三种数学思想方法。实际解题过程中，学生应该认真分析数学问题隐含的数学思想方法，做到具体问题具体分析，灵活运用数学思想方法进行解题，使问题得以简解或妙解，全面提高数学学习能力。遇到特殊的问题，可以将上述思想方法结合起来，一起运用，或许解题效果更佳。学生在学习过程中应当注意归纳数学思想方法，提炼和概括出常用的数学思想方法，课后认真体会、研究，久而久之，学习数学的能力会得到较大提升。

参考文献

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