线段最值问题探究

朱华庆

线段最值问题探究

朱华庆

同学们，在我们初中数学学习中，遇到很多线段的最值问题，而且有些难度很大，今天我们一起想方设法，巧妙解决线段及线段和的最值问题.

我们把线段的最值问题分为三类：1.动点在直线上运动；2.动点在圆上运动；3.动点在其他曲线上运动.限于篇幅，我们研究1、2两方面的问题，这也是考试的主要题型.

一、动点在直线上运动

【回顾一】在苏科版《数学》教科书八年级上册学习垂直平分线时，我们遇到一个经典的问题：如图1，在村庄A、B同侧有一条马路l，准备在马路边上建一个加油站P，使得PA+PB的和最小，试作出点P的位置.

图1

【点评】此题的解法和原理同学们一定都很熟悉，让我们一起来回顾并整理一下：这是属于动点在直线上运动的最值问题；作图的关键是找到两个村庄（即两个固定点），一条马路（动点的运动方向）；最小距离和就是一个村庄的对称点和另一个村庄的连线；如果村庄在马路两侧，则两村庄连线所成的线段即最小距离和.

【尝试1：一个动点】如图2，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，E为BC边中点，点P为对角线BD上一动点，求PE+PC的最小值.

图2

【分析】由题意发现动点P在直线BD上运动，而E、C固定不动，把E、C看成村庄，BD看成马路，这里显然C的对称点比E的对称点容易找到，所以作C的对称点（由于菱形的对称性，C、A关于BD对称），连接AE，交点就是要求的点P.

图3

解：点C关于BD的对称点为点A，所以连接AE交BD于P，如图3.由已知条件可得△ABC是等边三角形，AE是高，所以PE+PC的最小值为AE= 3.

【点评】首先由动点在直线上运动确定运动类型，其次，找到村庄，找到马路，作出正确的图形，最后根据条件求出结果，这是这类线段最值问题的基本解法.

【尝试2：两个动点】如图4，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，Q、P分别是AD、DC上的动点，若AB=6，BC=8，求四边形EFPQ周长的最小值.

图4

【分析】1.因为动点在直线上运动，所以要找准村庄和马路；2.要求四边形周长的最小值，而E、F是固定的，即要求EQ+QP+PF的最小值；3.P、Q两个点都在动，研究起来很麻烦，所以我们让两个动点的其中一个动点不动，把双动点问题转化为一个动点问题.我们把这个题目再具体地解剖下，先让Q不动（先P不动也可以），于是EQ+QP+PF中，EQ也是一个固定值，只要求QP+PF的最小值，显然Q、F不动，看成村庄，P在马路DC上运动，作F的对称点F′，连接QF′，如图5，QF′就是QP+PF的最小值，所以要求EQ+QP+PF的最小值，只需求EQ+QF′.我们发现，E、F′是固定的，看成村庄，让Q动起来，AD看成马路，作对称点E′，连接E′F′即所求，如图6.

图5

图6

解：如图6，作点F关于DC的对称点F′，作点E关于AD的对称点E′，连接E′F′，由题意BE=EA=AE′=3，BF=FC=CF′=4，在Rt△E′BF′中，由勾股定理得，E′F′=15，又EF=5，∴周长最小值为20.

【点评】遇到两个动点的问题要想办法转化为一个动点的问题.选择作对称点时，要注意哪个点更合适.上题中，为什么不作Q的对称点，而作F的对称点呢？因为Q不是真正的不动点，还是要再次动起来的，相比而言，F是一直固定的，所以比找Q作对称点更加合适.

二、动点在圆上运动

【回顾二】在学习苏科版《数学》教科书九年级上册“点与圆的位置关系”时，有一道典型问题：如图7，点P是圆O外一点，点Q是圆O上一个动点，若PQ的最大值是8，最小值是2，求圆O的半径.

图7

【点评】关于本题的解答以及过程相信同学们已经熟练掌握了，我们一起回顾下结论：Q′、Q″是直线PO与圆的交点，PQ′为PQ的最小值，PQ″是PQ的最大值.

【尝试1：一个动点】如图8，在Rt△ABC中，AB=4，BC=6，∠ABC=90°，点P为平面内一点，且PB⊥PC，求线段AP的最小值.

【分析】首先由动点P的运动路线确定本题属于哪种类型的线段最值问题.本题中，由PB⊥PC可以发现，点P是在以BC为直径的圆上运动，把A看成圆外一点，问题解决.

图8

解：如图9，取BC的中点O，连接OA，在Rt△ABO中，OB=3，AB=4，故OA=5，∴AP=2.

图9

【点评】本题是圆外一点到圆上动点最小值的基本解法，难点是找到动点运动的路线.

【尝试2：两个动点】如图10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，且△ABC≌△DEC，点P是AB上一动点，点Q是CE边中点，当△DEC绕着点C旋转时，求线段PQ的最小值.

图10

【分析】本题的难点不仅仅在于两个动点，而且两个动点运动的类型不同，点P在AB上运动，点Q呢，其实是在以C为圆心、半径为3的圆上运动.我们的方法是先让一个点不动，优先解决圆上的动点，所以假设点P不动，看成是圆C外一点，Q为圆C上一动点，所以连接PC，与圆C相交于Q，此时PQ最短，如图11.接着让点P动起来，如何让PQ最小，我们要整体考虑PC，当PC⊥AB时，PC最短，而QC=3不变，此时PQ最小.

图11

解：过点C作AB的垂线，垂足为P，与圆C相交于Q，由题意知，此时CP可以看成Rt△ABC斜边AB上的高，计算得高为4.8，也就是CP的最小值为4.8，∴PQ的最小值为4.8-3=1.8.

【点评】通过本题的探究，我们发现，遇到双动点问题的时候，需要转化为单动点问题，同时遇到圆上动点和线上动点的时候，先假设直线上的动点不动，等圆上的动点研究好了，再让直线上的动点动起来.本题还用到了整体思想，即要研究PQ的最小值，可以先研究PC的最小值，再去掉固定长度QC.

三、综合应用

（2014·无锡）如图12，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=3，圆A半径为1，圆B半径为2，点E为圆A上动点，点F为圆B上动点，点P为DC边上动点，则求PE+PF的最小值.

图12

【分析】本题有三个动点，点P在直线上运动，点E、F在圆上运动，由以上探究可知，我们先让点P不动，首先让点E动起来，使得PE最小，再让F动起来，让PF最小，同学们能找到E、F的位置吗（见图13）？接着，让点P动起来，现在我们的问题已经转化为E、F不动，点P运动，求PE+PF的最小值.按照“回顾一”的方法：把E、F看成村庄，把CD看成马路，遗憾的是，由于E、F两点位置的不确定，无法作出能够计算的对称点.那么问题在哪里呢？因为E、F不是真正的固定点.这时，我们用整体的思想，从PA、PB角度考虑，只要PA+PB的和最小，而AE、BF的值是固定的，最后减去AE+BF的和就可以了.那么，如何使得PA+PB的和最小呢？只需把A、B看成村庄，CD看成马路即可.

图13

解：作B关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于点P，如图14.

图14

由于B、B′关于CD对称，∴DP垂直平分BB′.

∴△BCQ是直角三角形，由已知可得∠BCQ =60°，∠CBQ=30°，∴∠ABB′=90°，在Rt△BCQ中，BC=3，易得BQ=323，∴BB′=33，在Rt△ABB′中，AB=3，BB′=33，∴AB′=6，∴PE+PF的最小值是6-1-2=3.同时，我们可以发现C、P两点是重合的.

【点评】本题是中考填空题的最后一题，难度有些大，特别是同时存在两类动点：点在直线上运动、点在圆上运动，要熟悉这两种类型问题的解决方法，要运用整体的思想，所以只要找对方法，问题就变得容易很多.

相信同学们在以后遇到类似问题时，只要方法得当，一定能够轻松应对.

（作者单位：江苏省常州市金坛区尧塘中学）