外显活动氛围内蕴数学思维
——2016年浙江省湖州市中考压轴题的赏析、变式与拓展

王强强

（浙江省湖州市第四中学教育集团）

外显活动氛围内蕴数学思维
——2016年浙江省湖州市中考压轴题的赏析、变式与拓展

王强强

（浙江省湖州市第四中学教育集团）

整道试题构建了一个数学活动课的虚拟场景，通过直角三角板的旋转，引导学生进行思考与提炼，从三角形全等到三角形相似，再到构造直角三角形相似，体会在尝试、类比中解决问题的过程.通过解法探究与变式，将问题不断深入，发现其中最本质的变化规律，挖掘蕴含在其中的几何特性及数量关系.在观察、操作、实践体验的基础上进行综合推理论证，有着很好的教学导向作用，以及问题解决的基本套路．

数学活动；数学思维；虚拟教学

一、试题及其赏析

题目（2016年浙江·湖州卷）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的ABCD（∠BAD= 120°）进行探究：将一块含60°角的直角三角板如图1所示放置在ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两条直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）.

（1）初步尝试.

如图1（1），若AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF；②AE+AF=AC.

（2）类比发现.

如图1（2），若AD=2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求证：AE=2FH.

（3）深入探究.

图1

1.试题解答

解：（1）①由于四边形ABCD是平行四边形，且∠BAD=120°，

于是∠D=∠B=60°.

因为AD=AB，

于是△ABC和△ACD均为正三角形.

故∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC.

由已知，得∠ECF=60°.

于是∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°.

所以∠BCE=∠ACF.

故△BCE≌△ACF（ASA）.②由于△BCE≌△ACF，

于是BE=AF.

故AE+AF=AE+BE=AB=AC.

（2）设DH=x，

于是AD=2AB=4x，AH=AD-DH=3x.

因为CH⊥AD，

所以AC2+CD2=AD2.

故∠ACD=90°.

得到∠BAC=∠ACD=90°，∠CAD=30°.

于是∠ACH=60°.

由已知，得∠ECF=60°.

于是∠HCF+∠ACF=∠ACE+∠ACF.

所以∠HCF=∠ACE.

所以△ACE∽△HCF.

所以AE=2FH.

2.试题赏析

整个试题构建了一个数学活动课的虚拟场景，以学生熟悉的含60°角的直角三角板的旋转为问题展示的切入点（作为试卷的压……