t-Copula 函数模型在跨期套利中的理论研究

杨柳

t-Copula 函数模型在跨期套利中的理论研究

杨柳

跨期套利一般利用的是同一市场同种商品不同交割时间的期货合约之间的价格差，当商品价格差分布在无套利区间中，则不存在套利机会；当商品价格差分布在无套利区间之外，则有套利机会，从而可以采取套利交易来得到利润。套利组合是期货市场上重要的投资工具之一，而套利组合的风险取决于单个合约的风险以及多种套利合约之间的相关性。期货合约收益率序列多呈现“厚尾”或者“薄尾”分布，计算起来很容易发生误差。为了更好地描述随机变量之间相关性结构，并利用 Copula函数理论来刻画变量之间的相关性，由此得出跨期套利交易 Copula 函数模型，并用该模型研究了 PVC 合约的套利交易。

跨期套利；Copula 函数模型；相关性分析；收益率

一、引言

套利是指同一时间买卖两种不同的期货合约，套利行为是利用同一资产的不同价格，获得无风险利润的一种行为。期货套利是指利用期货市场或期货合约之间的相关期货价格差异，逆向交易在期货市场或相关期货合约中，交易行为发生有益发展时的利差利润。

跨期套利交易是指在同一市场上针对同一产品同时买入或卖出不同交割时间的期货合约，来获取利益而最终平仓了结。

在一个竞争激烈的，流动性比较强的市场中，套利行为将导致价格差异的消失，这会使市场趋于均衡。客观地说，投资方式与投资方式之间并没有确定的好处和坏处，对于使用什么样的投资方式，一般会取决于投资者。因此，套利交易则被广泛认为是起着某种特定作用的且具有独立性质的并与投机交易大不相同的一种交易方式。

期货市场套利交易与普通投资一般是不一样的，套利者可以利用同一品种在两个或者两个以上期货合约之间的差价，而不是依赖任何一个合约的价格来进行交易。客观来讲，期货套利隐藏的利润不是因为商品价格的上涨或者下跌，而是在于不同期货合约不同月份之间商品价格差异的扩大或缩小，从而形成套利交易的头寸。

二、Copula 函数模型建立

根据 Copula 函数相关理论，可以运用以下方法来构建 Copula 模型研究期货套利。

第一步：确定边缘分布。

波动性是金融市场的最重要特性之一，金融时间序列更是呈现时变等波动特征。此时的波动会随着时间的变化而不断变化，不断变化，大波动往往跟随后面的另一大波动，而较小的波动往往遵循另一个较小的波动。根据波动性的特点，我们可以利用 GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity） 模型来刻画时间序列的波动情况。本文使用 GARCH（1,1）模型来刻画时间序列波动情况的条件边缘分布。

令{xt},{yt},t=1,2,…N 分别表示两个金融变量的收益率序列。

第二步：确定 Copula 函数。

本文所研究的期货套利市场之间的相关关系是不断变化的。比如当市场处于牛市或熊市时，相关市场之间的协同作用就会显著增强，从而相关性增强，但是当处在两种状态时，期货市场之间的变化通常又是不对称的。因此要使用一种 Copula函数来全面地刻画变量之间的特点。根据 Copula 理论性质，可以发现，利用 t-Copula 函数就可以实现这个刻画过程。

第三步：参数估计。

首先，根据 Copula 函数 Ck(u,v,θk)的密度函数 Ck(u,v,θk)和边缘分布 fx(x,θ1),fy(y,θ2)，可以得到联合分布函数的密度函数：

那么，本文中的收益率序列样本(xt,yt),t=1,2,…N 的对数似然函数为：

然后采用两步极大似然估计法，第一步是对边缘分布函数的对数似然函数进行极大化处理：

第二步对 Copula函数的密度函数进行极大化，代入上步所得的参数和，估计出 Copula 函数的参数，即

第四步：Copula 模型的检验。

Q-Q图即分位数-分位数图可以用于判定样本是否服从于正态分布，并且Q-Q图可以帮助确定采样数据是否服从于某种类型的分布，比如，若采样数据近似于正态分布，则在 Q-Q图上显示为直线，且点的分布越接近于直线，则样本越趋向于正态分布。

三、同品种跨期套利研究

本文主要针对中国期货市场的PVC交易情况进行研究，了解和分析PVC价格差异的规律以使得在交易中获取收益。随着合约的连续时间越长，保证金也会越来越多，进行套利的融资成本或者说机会成本也就越大，另外持有期限太长的期货合约将会有很大的不确定性的风险。因此，在本文中，我们选择最近两个季度的合约作为标的资产来构建跨期套利组合。根据以上选取数据原则，本文将2015 年10月8 日至 2016 年 7 月 8 日期间 PVC1608 合约和 PVC1609 合约按照一定规则进行拼接，再经过缺省数据处理得到了最终用于跨期套利交易的标的资产价格时间序列。

图1 PVC 合约价格走势图

从PVC1608合约和PVC1609合约的价格走势图中可以看出两个合约的价格趋势具有很强的一致性，同时，同步性亦很强，可以得出结论，这两个合约具有很强大的联动关系。为了更严格地进行下一步的研究，首先进行相关系数检验。

相关系数表示的是多元正态分布的变量之间的线性相关程度，通过期货合约套利风险的相关系数来衡量，通常利用 pearsonρ 相关系数来描述时间序列之间的线性关系。通过R软件计算出两个合约的相关系数如下：

表1 PVC1608 合约和 PVC1609 合约相关系数矩阵

由价格走势图和相关系数矩阵，我们可以看出 PVC1608 和PVC1609两个合约具有很强大的关联性，相关系数显著性检验中的 t统计量为 70.1062，自由度为 165，对应的 P 值趋近于 0，说明两个合约之间的相关性非常显著。

表2 PVC 日收益率基本统计

表2列出了不同期货合约的收益率及其是否服从正态分布的统计数据，从收益率的统计特征看，期货合约的收益率接近于正态分布的偏度 0 及峰度 3，显著水平 P 值接近零，可以接受每个期货合约收益率序列对数正态分布的假设。

根据选定的阈值，进行极大似然估计处理和尾部的拟合，得到以下参数：

表3 期货合约收益序列模型参数估计

二元 t-Copula 函数也有对称性，若变量间具有对称的相关关系，就可以使用 t-Copula 函数来刻画这种特点，这一特性与二元正态函数一样。利用边际推断函数法对 t-Copula 函数进行估计，结果如下：

表4 Copula函数的参数估计和标准误差 t比率

图2 Q-Q 图

Q-Q图上轨迹接近直线，则说明样本数据近似于正态分布，且直线的斜率就是标准差，截距是均值，点的分布越切近于直线，则说明样本越趋向于正态分布。

本文实证表明，实证结果表明，期货组合收益率具有较强的相关性，投资者可以利用期货合约组合收益率波动套利交易，并通过测量套利组合的风险值，在一定程度上控制和降低套利风险。监管层还可以基于套利组合风险价值确定保证金水平，以有效控制风险为前提，减少套利者套利交易成本。

以尾部极值分布构建的 Copula 函数的边缘分布，可以尽可能地捕获期货合约的极端风险情况，由此求得期货套利投资组合风险将更准确和更精确，套利组合保证金将更加可靠和真实。

中国目前的期货套利组合通常情况下只收取单边的保证金，也就是说两个合约收取的保证金大约是单个合约的结算价的 5%-10%。与结果相比，中国目前的套利组合保证金比风险水平更高。作为套利交易的主要交易成本之一，套利组合保证金过高，在一定程度上会影响期货套利合约的合理价差。

四、展望

Copula 函数由于其本身特有的性质，在很多领域上都会有很多重要的运用，利用 Copula 函数来研究问题有很多优点：

（一）Copula 函数可使用于多元分布。

（二）由于严格单调递增变换，Copula 函数所获得的一致性和相关特性不会改变，因此其应用范围和实用性将更加广泛。

（三）在 Copula 理论的实际应用中，边缘分布的选择不受限制，如果变量单调递增，Copula 函数的一致性和相关性的估计值不会改变。

（四）Copula 函数模型可以捕捉变量之间的特殊关系，如非线性、非对称和尾部结构，这是一个非线性函数，更符合实际情况。

在应用 Copula 函数时，主要的难点是选择哪种函数形式，在选择 Copula 函数时，要考虑的是实际数据所显示的尾部相关性，并根据这些实际期货数据，选择与之相适应的 Copula 函数。因此，研究 Copula 函数的性质对于其应用具有重要意义，对其定义、性质和应用需要进行深入的研究，并应用它去解决更多实际问题。

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1008-4428（2017）06-91-03

杨柳，女，山东济宁人，硕士研究生，现就读于山东科技大学，专业：运筹学与控制论，研究方向：统计与保险精算。