数学教学中学生思维过程的暴露

赵忠平

摘 要：数学教学是数学思维活动的教学.本文谈数学课堂教学中暴露教师的思维过程和暴露学生的思维过程的方法，以及师生思维过程暴露中应注意的几个问题.

关键词：数学教学；思维过程；暴露

现代数学教学论认为，数学教学就是数学思维活动的教学.为了提高课堂教学效果，教师在讲授演示知识时，不但要充分暴露教师的思维过程，还要最大限度的暴露学生的思维过程，并注意师生思维过程暴露的有机结合，排除学生的思维障碍，强化学生正确的思维品质.如何才能做到充分暴露师生的思维过程，笔者认为必须做好以下几点.

一、教师思维过程的暴露

暴露教师思维过程是发展学生思维的需要，是形成学生良好认知结构的需要，是素质教育的需要，因此，注重从思维教育的角度，突出并暴露必要的数学思维过程和实际认知过程，应当成为新课程改革的基本点和着力点，笔者认为，在数学课堂教学中暴露教师思维过程的主要方法如下.

1创设问题情境，暴露知识的发生发展过程

创设问题情境是指为学习新知识，创设熟悉的旧知识情境，或创设数学知识的生产生活情境，教师在讲授过程中要将数学知识放到学生易于理解并能够引起学生兴趣，揭示问题实质的情境之中，充分暴露概念的抽象过程，定理的产生过程，方法的总结归纳过程，暴露重点难点的突破过程，以及科学研究探索的挫折过程等.例如在学习微积分时，教师可先讲微积分的发展历史，以及现阶段对微积分研究的进展情况，学生听了之后，兴趣高涨，增强了学习数学的积极性、主动性.又如高中代数中数列极限的概念一节是公认的难课，教者可以采用以旧引新的方法，先让学生回忆反比例函数的图像和性质，由于学生对此性质非常熟悉，故进而将“无限接近”这一本质属性迁移到数列极限中来，启发学生用数学语言刻画距离的无限缩小，取得了良好的效果.

2合理选择思维路径，暴露解决问题的分析过程

思维路径是思考和解决问题的方法和途径.正确选择和开辟思维路径是正确快速解决数学问题的关键，思维路径不同，解决问题的难易程度繁简程度也不同，教师在分析问题的过程中，要首先站在学生的角度，用学生的知识水平和经验水平审视数学问题，预见并分析学生的思考方法和途径，从不同过程中分析比较，找出最佳思维路径，剖析方法间的内在联系，充分暴露教师解决问题的分析过程和探索过程，强化学生的正向思维，激活学生逆向思维和发散思维能力.

例1 （2014年陕西）已知：a，b，m，n∈R ，且a2+b2=5，ma+nb=5，则m2+n2的最小值为

学生一看到这么多的变量，顿时没有了思路，教师引导学生细心观察题设和结论的特征，学生突然发现原来与重要不等式有关，于是想到m2+a2≥2ma，n2+b2≥2nb，两式相加，再把条件代入，问题便迎刃而解；教师继续启发学生，m2+n2的几何意义是什么，进而学生发现可以利用数形结合来求解；教师继续启发引导，还可以得出利用三角函数有界性，利用向量不等式等方法.

在引导过程中，教师要充分暴露问题的分析过程和方法的迁移过程.教师还可以进一步引导学生比较各种方法之间的优劣，以及各种方法之间的本质联系.

3加强变式教学，暴露思维深化过程

数学教学思维的深化与活化关键在于“变”，在变中求“活”，在变中求“深”.教师在教学过程中可将概念、数学问题进行改造，可采用一题多变，一题多用，使一个问题与有关问题联系起来，层层引申，活跃思维.教师通过思维变换过程的暴露，培养学生思维的深刻性和灵活性.

例2 （人教版A版选修2-1第70页）过抛物线焦点F的直线交抛物线于点A、B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线BD平行于抛物线的对称轴（x轴）.

在证明了该题后，通过对该题变式，然后进行探究，对学生学习有关知识和方法有很大帮助.

变式1 将焦点F（p2，0）改为点M（m，0），（m≠0）结论是否仍然成立？

变式2 变式1的逆命题是否成立？

变式3 将抛物线改为椭圆，是否成立？

4构建知识网络，暴露知识结构的优化过程

教师在教学过程中应重视对学生进行学法指导，应经常引导学生去归纳概括所学数学知识，要暴露知识的结构体系、记忆方法，以及在整个教材中的地位，以知识导图的形式将新知识附着于旧知识体系之中，促使学生构建知识网络，形成良好的数学素养.

二、学生思维过程的暴露

教师在教学过程中要有效地调控学生的思维过程，及时暴露学生的思维过程，正确的予以强化，错误的予以纠正，具体方法如下：

1通过课堂提问，促发学生思维过程的暴露

课堂提问是课堂教学的重要一环，也是教师检查学生对所学知识掌握程度的重要途径，课堂提问的设计要以有效地暴露学生思维过程为目的，要以有效地启迪学生的思维为核心，要以好的问题为载体，促发学生暴露思维过程的疑点、难点、思维障碍点，并在教学中及时加以排除，发现学生思维闪光点，及时予以表扬.

2精心组织课堂合作交流，引发学生思维过程的暴露

教师精心准备探究问题，引导学生通过“小组合作”交流讨论，促进学生之间互相启发，取长补短，营造民主、轻松、舒畅的学习气氛，充分暴露学生思维过程和思考方法，教师参与到小组交流之中，了解和掌握学生讨论过程中暴露出的思维障碍，并采用个别纠正和集体纠正相结合的方法及时纠正.

3通过“设错训练”诱发学生思维过程的暴露

学生出现教师预见到的错误，教师可在课堂教学中创设错例，或从学生作业、练习中找出一些典型错误，要求学生分析错因，并纠正错误之处.设错训练能够充分暴露学生辨析思维过程，提高学生对一些知识点的警戒度.纠正学生对某些知识、方法技巧运用不准确，不到位的现象，培养学生思维的严谨性和批判性.

例3 在讲授不等式：已知a，b∈R+，且a+b=1，求证：a+1ab+1b≥254的证明时，针对以往学生容易出现的一些问题，设置如下错证：

虽然结果正确，但过程错误，如果经常针对一些学生常纠常错的知识点进行设错训练，便可在多次错误思维过程的暴露中，强化学生正确的思维路径.

三、师生思维暴露过程中应注意的几个问题

1思维过程的暴露要适时适度，切忌形式化、简单化

数学教学中思维过程的暴露要防止两种倾向，一是一味地暴露教师的思维过程，导致满堂灌，忽视学生的主体地位，使学生机械地接受，另一种倾向是一味地暴露学生思维过程，题无大小，频频提问，使提问过程简单化、形式化，冲淡了教学重点、难点、关键点的教学，使学生疲于应付，降低了教学效果，这两种倾向都忽视了对思维过程暴露的度的把握.另外，思维过程的暴露要适时，要抓住学生心理上的“好奇状态”和“愤悱状态”，要在学生对知识情景情感体验最深时进行，暴露的内容要切中要害，一语中的，这就要注意正确发挥教师的主导作用，保障学生的主体地位.

2思维过程暴露形式要多样化、综合化，切忌单调乏味

教师在教学过程中要采用多种形式，借助各种辅助教学工具，以丰富多彩的形式暴露师生的思维过程，如利用几何画板、作图软件、微课、自制教具等多媒體资料，还可采用小辩论、小竞赛、翻转课堂等多种形式，利用小组合作探究，引导“兵带兵，兵教兵”，综合运用各种方式，提高师生之间、生生之间思维交流的效率.

总之，数学教学中教师思维过程暴露要恰到好处，到位而不越位，学生思维过程暴露要充分及时，减少盲点，不留夹生饭.只有充分暴露师生思维过程，才能有效纠正和防止错误思维过程的再现，才能强化正确的思维路径，培养学生思维的深刻性和创造性.