初中数学解题思路初探

王翠红

初中数学是一门逻辑思维较强的学科，在其教学中解题一直是其重点难点.本文将基于笔者教学实际，重点围绕于初中数学解题思路展开探究，以供广大教师参考.

一、因式分解解题思路

目前因式分解思路所能使用的方法众多，除教学中常见的公式法、十字相乘以及公因式提升等外，待定系数、添（拆）项或换元等也是较为有效的方法.

例1已知x=3+3，y=3-3，求xy-yx的值.

分析由于xy-yx=x2-y2xy=（x+y）（x-y）xy，故只要求出x+y、x-y，xy的值，代入即可.

解∵ x=3+3，y=3-3，

∴x+y=6，x-y=23，xy=6.

∴xy-yx=（x+y）（x-y）xy=6×236=23.

二、配方解题思路

配方解题思路主要是指借助于恒等变形方法将式子之中一些项配成数个多项式正整数次幂之和，随后在此基础上进行解题.

例2超市中出售一种成本是60元的不粘锅，为了获取合理利润，超市经营者除了确保折后价格不能低过成本，并且利润小于45%.随后通过一段时间销售后可知，该不粘锅销量y与售价x二者关系构成y=ax+b这一函数式.此外，已知当售价x为65元时，销量y是55个；当售价x为75元时，销量y是45个.假设超市销售不粘锅获取z元利润时，其和售价x会构成怎样的关系式？并且超市要想获取最大利润，售价x应是多少元？此时最大利润是多少？

解题思路由题目所提供条件来看，y=ax+b、x=65，y=55以及x=75，y=45可以将销量y的解析式算出来.而单个不粘锅利润为x-60，因此超市销售利润z=y（x-60）.

解∵ 由题意可知，y=ax+b，x=65，y=55以及x=75，y=45，

∴55=65a+b ①，45=75a+b ②.

由①②解得a=-1，b=120，即y=-x+120.

∵单个不粘锅成本为60元，售价为x元，

∴单个不粘锅利润为（x-60）元.

∴超市不粘锅销售利润z=y（x-60），即z=-x2+180x-7200.

配方变为z=-（x-90）2+900.此外由题意，可知折后价格不能低过成本，并且利润小于45%，即60≤x≤60×（1+45%），解出60≤x≤87.这就意味着当单个不粘锅售价为87元时，超市所获利润最大.此时将x=87代入到z=-（x-90）2+900，得到最大利润z为891元.

三、换元解题思路

换元解题思路主要指在某个复杂性较大的式子中，通过运用一个新的未知变元将式子中复杂部分替换，这样一来大大地简化原有式子，有助于有效地解题.

例3解方程3（a+1）a2+1+a2+1a+1=4.

解题思路根据对题目3（a+1）a2+1+a2+1a+1观察可知，该式子中a+1a2+1与a2+1a+1二者存在极为密切的关系，因而该题解题中只需将它们其中一个设元，随后将整个式子换元化简即可解出该题.

解注意到左端两个分式之间存在的倒数关系，假设b=a2+1a+1，那么原式方程可变为3b+b=4.

去分母可得b2-4b+3=0，解得b1=1，b2=3.

将b1=1，b2=3分别代入b=a2+1a+1，解出a1=0，a2=1，a3=3+172，a4=3-172.

四、建模解题思路

建模解题思路是指学生在面对某些难度与复杂性极大的题目时，并且采取常规方法难以解题，在这种情况下学生在理清题目基础上就问题予以建模，化為熟知的形式，不但有助于他们提升解题效率，同时解题正确性也大大地提高.

例4小明家要购买空调，淘宝中有两款功率不同的较为喜欢，其中节能空调价格为3000元，功率是150瓦，而普通空调价格为2000元，功率是200瓦，假设电费恒定为每千瓦时0.5元.那么如果小明家购买节能空调时，这两款空调使用年龄超多久最合算？

解题思路该题目中涉及条件较多，常规方法是难以有效地解题，对此应从问题着手，小明家购买节能空调时，这两款空调使用年龄超多久最合算？即核心意思在于那款空调最后总价最低（总价=价格+电费），此时学生只需构建两款空调不等式模型即可解出.

解假设空调使用小时数为a，由题可知节能空调价格为3000元，功率是150瓦，而普通空调价格为2000元，功率是200瓦，假设电费恒定为每千瓦时0.5元.

∴建模可得2000+0. 2×0. 5a>3000+0. 15×0. 5a，解出a>4000.即小明家购买节能空调时，这两款空调使用年龄超4000小时最合算.