微分中值定理在不等式证明中的应用

段胜忠+杨国翠

摘要：通过典型例子的解答，给出利用拉格朗日中值定理、柯西中值定理和带拉格朗日余项泰勒公式证明不等式的方法和步骤。

关键词：不等式；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；泰勒公式；辅助函数

中图分类号：TB文献标识码：Adoi：10.19311/j.cnki.16723198.2017.28.094

不等式是初等数学和高等数学中的重要内容，在数学分析、泛函分析、非线性泛函分析和证明微分方程解的存在性方面有着非常重要的应用。同时，不等式的证明由于题型特殊，证明的方法灵活多变，在培养学生的创新思维和创新能力上具有重要的作用。微分中值定理反映了可导函数在闭区间上整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系，是用导数来研究函数性态的理论基础，微分中值定理作为微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。本文通过典型例子的解答，希望进一步概括和总结微分中值定理在不等式证明中的方法和步骤，在加深学生对微分中值定理理解的同时，提升学生证明不等式能力。

1预备知识

定理1.1 （拉格朗日中值定理）若函数fx满足如下条件：

（1）在闭区间a，b上连续；

（2）在开区间a，b内可导。

则在a，b内至少存在一点ξ，使得f′ξ=fb-fab-a 。

定理1.2（柯西中值定理）若函数f（x）与g（x）满足下列条件：

（1）在闭区间a，b连续；

（2）在开区间（a，b）可导，且x∈（a，b），有g′（x）≠0，

则在（a，b）内至少存在一点c，使f′（c）g′（c）=f（b）-f（a）g（b）-g（a）。

定理1.3（带拉格朗日余项的泰勒公式）若函数f（x）在点a存在n+1阶导数，则x∈Uo（a）有

f（x）=f（a）+f′（a）（x-a）+…+f（n）（a）n！（x-a）n+f（n+1）（ξ）（n+1）！（x-a）n+1，其中ξ介于a与x之间。

2典型例子

2.1利用拉格朗日中值定理证明不等式

方法步骤：

（1）构造恰当的辅助函数；

（2）寻找合适的讨论区间；

（3）考虑中值的取值范围，进行适当的放缩。

例2.1设a>b>0，n>1，证明：nbn-1（a*b）

证明：设f（x）=xn，x∈b，a，因为f（x）在b，a上连续，在（b，a）内可导，所以由拉格朗日中值定理知：fa-fb=f′（ξ）（a-b），ξ∈（a-b），即an-bn=nξn-1（a-b）. 又因为01，所以bn-1<ξn-1

例2.2证明不等式：当x>0时，有x1+x

证明：令f（x）=ln（1+x），显然它在[0，x]（x>0）上满足拉格朗日中值定理的条件，故ξ∈（0，x），使f（ξ）=f（x）-f（0）x-0，即ln（1+x）-ln1x=11+ξ，又因为0<ξ

2.2利用柯西中值定理证明不等式

柯西中值定理是研究两个函数的变量关系的中值定理，当一个函数取做自變量本身时，其特殊化为拉格朗日中值定理.在不等式中如果出现两种不同类型的函数时一般考虑利用柯西中值定理进行证明。

方法步骤：

（1）构造恰当的辅助函数f（x）和g（x）；

（2）寻找适当的讨论区间；

（3）考虑中值的取值范围，进行适当的放缩.

例2.3若0cosx1-cosx2ex1.

证明：只需证明ex2-ex1cosx1-cosx2>ex1即可. 设ft=et，gt=cost，则ft，gt在x1，x2上满足柯西中值定理条件，所以存在ξ∈x1，x2， 使得fx2-fx1gx2-gx1=f′ξg′ξ， ex2-ex1cosx2-cosx1=eξ-sinξ，0

ex2-ex1=cosx1-cosx2eξ1sinξ>cosx1-cosx2 eξ>cosx1-cosx2 ex1.

例2.4设x>0，0<α<1，求证：xα-αx

SymbolcB@ 1-α.

证明：设f（t）=tα，g（t）=αt.当x=1时结论显然成立.当x≠1时，取x，1或1，x，f（x），g（x）在闭区间x，1或1，x上连续，在开区间（x，1）或（1，x）可导，且g′（x）在（x，1）或（1，x）内每一点均不为零，由柯西中值定理可得：

f（x）-f（1）g（x）-g（1）=f′（ξ）g′（x），ξ∈（x，1）或ξ∈（1，x），即xα-1αx-α

SymbolcB@ αξα-1α=ξα-1， 所以xα-αx

SymbolcB@ 1-α成立.

2.3利用带拉格朗日余项的泰勒公式证明不等式

对含有高阶导数的不等式，一般需要利用泰勒公式进行处理，证明的步骤如下：

（1）根据不等式最高阶导数的次数确定展开项；

（2）选取适当的展开点（一般为使得一阶导数为零的点）；

（3）恰当选择函数f（x）中x的取值；

（4）写出函数的带拉格朗日余项的泰勒公式；

（5）进行适当的放缩，完成不等式的证明.

例2.5若函数f（x）在a，b上存在二阶导数，且f′（a）=f′（b）=0，则存在一点c∈（a，b），使f″（c）4（b-a）2f（b）-f（a）.

证明：将f（x）在点a和点b分别进行泰勒展开，有

f（x）=f（a）+f′（a）（x-a）+12！f″（ξ1）（x-a）2

f（x）=f（b）+f′（b）（x-b）+12！f″（ξ2）（x-b）2

取x=a+b2，可得

f（a+b2）=f（a）+f′（a）（a+b2-a）+12！f′（ξ1）（a+b2-a）2

=f（a）+12！f″（ξ1）（b-a2）2，ξ1∈（a，a+b2）；

f（a+b2）=f（b）+f′（b）（a+b2-b）+12！f″（ξ2）（a+b2-b）2

=f（b）+12！f″（ξ2）（a-b2）2，ξ2∈（a+b2，b）

令f″（c）=maxf″（ξ1），f″（ξ2），有

f（b）-f（a）=f″（ξ2）2（a-b2）2-f″（ξ1）2（b-a2）2

SymbolcB@ f″（ξ2）2（b-a）24+f″（ξ1）2（b-a）24

SymbolcB@ 12f″（ξ2）+f″（ξ1）（b-a）24

SymbolcB@ f″（c）（b-a）24，所以f″（c）4（b-a）2f（b）-f（a）。

例2.6设函数f（x）在区间[0，1]上二阶可导，且f（0）=f（1）=0，minx∈[0，1]f（x）=-1，证明：ξ∈（0，1）， 使得f″（ξ）8。

证明：因为函数f（x）在[0，1]上二阶可导，f（0）=f（1）=0，minx∈[0，1]f（x）=-1。

利用费马定理可知，a∈（0，1），使得f（a）=-1且f′（a）=0.将函数f（x）在a点泰勒展开可得：

f（x）=f（a）+f′（a）（x-a）+f′（ξ）2！（x-a）2

取x=0，x=1，可知

f（0）=f（a）+f′（a）（0-a）+f′（ξ1）2！a2，ξ1∈（0，a）；

f（1）=f（a）+f′（a）（1-a）+f″（ξ2）2！（1-a）2，ξ2∈（a，1）

化简得：f″（ξ1）=2a2f″（ξ2）=2（1-a）2，因为max{2a2，2（1-a）2}8

取f″（ξ）=max{f″（ξ1），f″（ξ2）}可得结论成立。

3结语

不等式的证明方法有很多，同样也灵活多变，具体要根据不等式的特点，在分析和总结的基础上，找到适当的方法来解决，只有这样才能更好地解决遇到的问题，达到事半功倍的效果。从上面的分析中可以看到，微分中值定理在证明不等式，特别是含有抽象函数不等式的证明中起到了很好的作用，对学生深刻理解微分中值定理的内涵具有很好的意义。在具体问题的证明过程中，辅助函数的构造、讨论区间的选取和泰勒展开点的确定是证明中的重点和难点，希望通过文章典型例子的分析和方法步骤的总结，探寻证明的一般规律，促进学生思维能力的培养。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.

[2]刘玉琏，数学分析讲义（上）[M].5版.北京：高等教育出版社，2008.

[3]裴礼文，数学分析中的典型問题与方法[M].北京：高等教育出版社，2006.endprint