图像复原技术在低剂量CT图像去噪中的应用

李正定

图像复原技术在低剂量CT图像去噪中的应用

李正定

目的探讨大规模图像并行复原技术在低剂量CT图像快速去噪中的应用。方法基于图像复原的变分PDE模型，针对大规模图像复原问题，结合非精确Newton法和区域分解技术，构造模型的Newton-Krylov-Schwarz（NKS）并行求解算法，利用该方法对低剂量CT的低对比分辨力图像进行处理分析。结果针对大规模灰度图像，数值算例显示，该方法具有很好的收敛性、稳定性和并行可扩展性，处理后的低剂量CT的低分辨力图像明显优于未处理的图像。结论（1）本文提出的算法图像处理效果基本达到了一般图像处理算法的精度；（2）本文的算法比现有的图像处理算法的速度要快；（3）本文提出的算法可以处理大规模的图像。

ROF模型；低剂量CT；区域分解算法

1 引言

目前大力倡导低剂量CT，低剂量的成像会导致噪声增加，为了能够清晰地分辨出病变的位置，需要对这些原始的图像进行去噪处理，使其更加清晰。图像滤波是图像复原的传统方法，由于边缘部分集中了图像的大部分信息，因此要求图像滤波在去除图像的模糊和噪声的同时，又要保持图像的细节。近年来发展起来的变分偏微分方程（PDE）图像复原技术，在去噪的同时能够很好的保持图像的边缘，受到研究者的广泛关注。

本文拟研究求解ROF[1]（Rudin-Osher-Fatemi）模型及其改进模型的基于区域分解算法的并行Newton-Krylov-Schwarz（NKS）算法。精确Newton法对小规模问题比较有效，但当问题规模巨大时，其对应的线性化方程组很难精确求解，这时非精确Newton算法[2]成为首选，其使用迭代算法非精确求解线性化方程组，获得近似的Newton方向。NKS算法将问题由寻找相对于Jacobian矩阵的一个高效预处理算子，转变为寻找相对于线性向前算子的一个好的预处理算子。算法的核心在于用Schwarz[3]预条件子加上Krylov[4]子空间校正法求解相应的Jacobian系统：它既能够大幅减少Jacobian矩阵的条件数，又易于大规模并行可扩展性计算。伴随着并行计算机计算性能的日益提高，由于Schwarz 预条件子具有优良的并行结构，许多科研工作者致力于研究这类算法求解工程计算中的大规模线性或非线性问题。蔡小川教授在经典Schwarz 预条件子的基础上提出了一类限制Schwarz 预条件子和两水平预条件子，并将其成功应用于流体优化控制[5]，人体动脉血液模拟问题[6]等。文献[7-8]从理论上证实了上述预条件子的优越性。

2 Newton-Krylov-Schwarz（NKS）算法

给定噪声图像为初值μ0，用精确Newton法求解此模型，由于方程组病态，高度非线性，并且规模巨大，直接求解十分困难。运用迭代法求解该模型，每步迭代过程中都涉及到整个图像区域的像素点的计算，计算量巨大，对于大规模的图像，串行求解其基于该模型的复原问题几乎是不可能的。对于FP方法和Newton法，均需要求解一个线性系统，并且当问题规模较大时，80%的计算时间耗费在对该线性系统的求解。并且当正则化参数β较小时，该线性系统的条件数很大，因此，需要采用预处理技术以加快收敛速度。为更好的利用现有的超级计算机平台，充分发挥其超级计算性能，我们采用结合了区域分解技术，非精确Newton法以及Schwarz预处理技术的NKS算法，将该大规模问题转化为一系列小规模的子问题，分别在单个处理器上进行求解。

3 数值算例

将通过2D灰度图像复原的数值模拟实验来验证NKS算法的收敛性、有效性和稳定性，并且测试其并行可扩展性。据我们了解，目前，NKS算法尚未应用到图像复原领域。因此，验证该算法的有效性和并行可扩展性具有重要的理论和应用价值。

3.1 CT图像去噪

这一节利用本文提出的算法对一些真实的医学图像进行去噪处理，图像来源于浙江大学医学院附属第一医院的一台西门子CT上用CT性能模体（CATPHAN 500）扫描得到。该模块主要是用来测试CT的低分辨力。扫描所用的条件电压都是80 kV，层厚都是10 mm，毫安数从67 mA到533 mA，毫安数越低，噪声越大。图1为本文算法获得的去噪结果。

3.2 NKS算法并行可扩展性

对规模不同的两幅灰度图像，在不同处理器核数下，NKS算法的并行可扩展性结果，Newton迭代步数及平均每个Newton步中GMRES迭代步数的比较如表1所示。当处理器个数增加的时候，Newton迭代步数基本不变，平均GMRES迭代步数略有增加，计算时间迅速减小。超线性并行可扩展性是指当使用的处理器数目增加一倍时，所用的总的计算时间减少多于一半。之所以会出现超线性并行可扩展性是因为使用LU分解算法求解子问题，而LU算法的计算量是o（n3），其中n是求解问题的规模，也就是说当子问题的规模减少一半时，子问题求解时间的减少量要远大于一半。由于并行计算时处理器之间需要进行数据传输，当处理器数目增加时，数据传输所需的时间也随之增加，这就使得处理器核数较多时，NKS并行算法不一定会有线性或超线性并行可扩展性。NKS算法求解两幅灰度图像复原问题的全变分模型时，具有线性甚至超线性加速比。

表1 NKS算法关于lenna和boat灰度图像的并行可扩展性

图1：左图是原始的67mA图，将其看作原始的待去噪的图像，右图是算法下获得的去噪图像

4 总结

本文的研究工作围绕图像复原的变分PDE模型展开，针对大规模图像复原问题，结合非精确Newton法和区域分解技术，构造模型的NKS并行求解算法，并且对比、分析、验证算法的有效性，测试算法的并行可扩展性。文章深入研究了这套算法的各个部分，重点研究区域分解算法，建立一套适用于超级计算机的求解大规模图像复原问题的可扩展并行算法。依托超级计算机，针对灰度图像的变分PDE模型，分别测试了NKS算法的收敛性和并行可扩展性，验证了NKS算法并行求解基于变分PDE模型的图像复原问题的有效性。

[1] Rudin LI，Osher S，Fatemi E． Nonlinear total variation based noise removal algorithms[J]． Physica D：Nonlinear Phenomena，1992，60（1）：259-268．

[2] Xu J，Tai XC，Wang LL． A two-level domain decomposition method for image restoration[J]． UCLA Computational and Applied Mathematics Report，2010，4（3）：523-545．

[3] Cai XC，Li X． Inexact Newton methods with restricted additive Schwarz based nonlinear elimination for problems with high local nonlinearity[J]． SIAM Journal on Scientific Computing，2011，33（2）：746-762．

[4] XC C，M． D，M． S． Restricted additive Schwarz preconditioners with harmonic overlap for symmetric positive definite linear systems[J]． SIAM Journal on Numerical Analysis，2003，41（4）：1209-1231．

[5] Saad Y． Iterative methods for sparse linear systems[M]． Siam，2003：12-15．

[6] Prudencio EE，Byrd R，Cai XC． Parallel Full Space SQP Lagrange-Newton-Krylov-Schwarz Algorithms for PDE-Constrained Optimization Problems[J]． SIAM Journal on Scientific Computing，2006，27（4）：1305-1328．

[7] Barker AT，Cai XC． Scalable parallel methods for monolithic coupling in flui–structure interaction with application to blood flow modeling[J]． Journal of computational physics，2010，229（3）：642-659．

[8] Frommer A，Szyld DB． An algebraic convergence theory for restricted additive Schwarz methods using weighted max norms[J]． SIAM Journal on Numerical Analysis，2001，39（2）：463-479．

Application of Image Restoration Technique in Low Dose CT Image Denoising

LI Zhengding Department of Equipment, Hangzhou First People's Hospital,Hangzhou Zhejiang 310006, China

ObjectiveTo introduce a parallel technique for large scale image recovering and the application of it to the denoise of the low dosage CT iamges.MethodsAparallel Newton-Krylov-Schwarz method, based on the inexact Newton method, domain decomposition method and ROF model, is used to solve the large scale image recovering problems.ResultsFor the large scale images, the numerical results show that the proposed method has a good convergence, stability, and scalability. Low dose of CT after processing of low resolution images is significantly better than the untreated image.Conclusion(1) The recovering results are comparable with the results obtained by other methods in terms of accuracy; (2) The proposed method is much faster than the existing image denoising algorithms in terms of the total compute time; (3)the proposed algorithm can handle large scale image.

ROF model; low dosage CT image; domain decomposition method

TP391

A

1674-9316（2017）23-0135-03

10．3969/j．issn．1674-9316．2017．23．067

杭州市第一人民医院设备科，浙江 杭州 310006