“一动碰一静”速度公式的推导与应用

北京

公衍录(特级教师)

“一动碰一静”速度公式的推导与应用

公衍录(特级教师)

从2017年起，全国物理考纲已将选修3-5作为物理高考的必考内容，而弹性碰撞问题一直是高考的热点。求解该类问题需要的数学运算比较麻烦，但是若应用“一动碰一静”的速度公式，就可使该类问题的求解变得简单。

一、“一动碰一静”速度公式的推导

图1

如图1所示，在光滑水平面上，质量为m1、m2的两球发生对心弹性碰撞，碰撞前的速度分别为v1和零，求两球碰撞后各自的速度。

二、“一动碰一静”速度公式的应用

1.直接应用于求解“一动碰一静”的问题

【例1】(2015·全国卷Ⅰ)如图2，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为m，B、C的质量都为M，三者都处于静止状态，现使A以某一速度向右运动，求m和M之间满足什么条件才能使A只与B、C各发生一次碰撞。设物体间的碰撞都是弹性的。

图2

【解析】A向右运动与C发生第一次弹性碰撞，碰撞过程中，系统的动量守恒、机械能守恒。设向右为正方向，开始时A的速度为v0，第一次碰撞后C的速度为vC1，A的速度为vA1。由动量守恒定律和机械能守恒定律得:

mv0=mvA1+MvC1①

【答案】ABD

2.间接应用于求解“一动碰一动”的一般弹性碰撞问题

图3

【例2】(2014·全国卷Ⅰ)如图3，质量分别为mA、mB的两个弹性小球A、B静止在地面上方，B球距地面的高度h=0.8 m，A球在B球的正上方。先将B球释放，经过一段时间后再将A球释放。当A球下落t=0.3 s时，刚好与B球在地面上方的P点处相碰，碰撞时间极短，碰后瞬间A球的速度恰好为零。已知mB=3mA，重力加速度大小g=10 m/s2。忽略空气阻力及碰撞中的动能损失。求：

(1)B球第一次到达地面时的速度；

(2)P点距离地面的高度。

将h=0.8 m代入，求得vB=4 m/s ②

由于碰撞时间极短，重力的作用可以忽略，两球碰撞前后的动量守恒，总动能保持不变。选竖直向下为正方向，有

设P点距地面的高度为h′，由运动学规律可得

联立②③④⑤⑥⑦式，并代入已知条件可求得：

h′=0.75 m。

【答案】(1)4 m/s (2)0.75 m

【点评】上面第(2)问在得到④⑤式后，直接代入数字求解，麻烦且容易出错。可采用以下几个比较简单的方法求解。

【解法2】逆向思维法

直接应用“一动碰一静”速度公式可得到B、A球碰撞前瞬间的速度

【解法3】等效法

【解法4】巧选参考系法

由于参考系B球具有对地的速度v2，故碰后瞬间A球对地的速度为

(作者单位：北京市丰台区丰台第二中学)

山东省高青县第一中学)

如果m>M，第一次碰撞后，A与C速度同向，且A的速度小于C的速度，不可能与B发生碰撞；如果m=M，第一次碰撞后，A停止，C以A碰前的速度向右运动(交换速度)，A不可能与B发生碰撞；所以只需考虑m

第一次碰撞后，A反向运动与B发生碰撞。设与B发生碰撞后，A的速度为vA2，应用“一动碰一静”的速度公式，同理有：

根据题意，要求A只与B、C各发生一次碰撞，应有vA2≤vC1⑥

联立④⑤⑥式得m2+4mM-M2≥0 ⑦