数学问题解答

2017年2月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

2346若a≥0,b≥0,c≥0，a+b+c=1，试证：

(1)

(浙江湖州市双林中学 李建潮 313012)

证明为证(1)式，先证一个简单的结论：

(2)

事实上，

⟸9x2y2≥0，所以，(2)式成立．

再证(1)式：不妨设a≥b≥c≥0，

则由1-3a2≥0及a+b+c=1，

所以由上式，得

最后，利用(2)式，有

2347在Rt△ABC中，CA≠CB，CD为斜边AB上的中线，过A作CD的垂线交直线CB于点E，过B作CD的垂线交直线CA于点F，连接EF交线段AB于点P，求证：△AFP的外接圆与△BEP的外接圆在其交点P处的切线互相垂直.

(河南省辉县市一中 贺基军 453600)

证明如图，在Rt△ABC中，不妨设CA

延长CD至点Q，使DQ=CD，则四边形AQBC为矩形.

因∠EGQ=∠EBQ=90°，

故E，G，Q，B四点共圆，QE为此圆的直径.

因AE⊥CQ，BF⊥CQ，故AE∥BF.

在梯形AFBE中，P为对角线AB和EF的交点，取上底AE的中点M，连接并延长MP交下底BF于点N，易知N为BF的中点.

在△DAC中，因DA=DC,MA=MC，故DM⊥AC，又AM⊥CD，从而有CM⊥AD.

在△NBC中，同理得CN⊥BD.

由CM⊥AB及CN⊥AB知CP⊥AB.

在矩形AQBC中，AB和CQ为它的对角线，

因AG⊥CQ于点G，CP⊥AB于点P，

故知四边形GPQB为等腰梯形，其顶点共圆，

进而可知P,Q,B,E,G五点共圆.

综上，QE为△BEP的外接圆的直径.

同理，QF为△AFP的外接圆的直径.

因∠EQF=∠PQE+∠PQF=∠PBE+∠CAP=90°，

故QE⊥QF，且QE,QF分别为△AFP和△BEP的外接圆在其交点Q处的切线.

由对称性知，上述两圆在另一交点P处的切线也互相垂直.

2348若△ABC的面积为S,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则

(天津水运高级技工学校 黄兆麟 300456)

证明先证链中第一个不等式

(1)

在不等式(1)的两边同除以2S,经整理可将不等式(1)等价化为

(1′)

x,y,z>0且xy+yz+zx=1,

那么由万能公式可得

≥3(x+y+z)

故不等式(1′)成立,从而链中第一个不等式(1)成立.

再证链中第二个不等式的等价式

(2)

注意到

那么

(3)

由传递性知不等式(3)成立,

从而不等式(2)成立,即链中第二个不等式成立.

故知链中第三个不等式也成立.至此原命题不等式链全部获证.

(北京市陈经纶中学 张留杰 100020)

证明如图，分别过点D1、D2作D1F1⊥AC的延长线于点F1，D2F2⊥AC的延长线于点F2，连结BD1、BD2、CD1、CD2．

因为 ∠BAD1=∠CAD2，

又 ∠BAD2=∠CAD1，

所以Rt△AE2D2～Rt△AF1D1，

由①×②得AE1·AE2=AF1·AF2③

因为A、B、D1、C四点共圆，所以∠D1CF1=∠D1BE1，所以Rt△D1E1B～Rt△D1F1C，

因为∠BAD1=∠CAD2，所以BD1=CD2；

因为∠BAD2=∠CAD1，所以BD2=CD1．

所以 ④×⑤得BE1·BE2=CF1·CF2．

由AE1·AE2=AF1·AF2得

(AB-BE1)(AB-BE2)

=(AC+CF1)(AC+CF2)

⟹AB2-AB(BE1+BE2)+BE1·BE2

=AC2+AC(CF1+CF2)+CF1·CF2

⟹AB2-AC2=AB(BE1+BE2)+

AC(CF1+CF2)

当且仅当AD1、AD2重合为∠BAC的角平分线AE时取等号．

2350若a,b,c>0,则3(a4+b4+c4)+(ab+bc+ca)2≥6(a2b2+b2c2+c2a2).

(浙江省宁波市甬江职高 邵剑波 315016)

证明

不妨设a≥b≥c,记两边的差为a的函数:

f(a)=3(a4+b4+c4)+(ab+bc+ca)2-

6(a2b2+b2c2+c2a2),

则f′(a)=12a3+2(ab+bc+ca)(b+c)-

6(2ab2+2c2a),

f″(a) =36a2+2(b+c)2-12(b2+c2)

=36a2-10(b2+c2)+4bc>0,

所以f′(a)是增函数,

因此f′(a)>f′(0)=2bc(b+c)>0,

所以f(a)是增函数,

因此f(a)≥f(b)=b4+4b3c+3c4-8b2c2,

同理f(a)≥f(c)=c4+4c3b+3b4-8b2c2,

两式相加得

2f(a) ≥f(b)+f(c)=4b4+4b3c+4c3b+4c4-16b2c2

≥8b2c2+4bc(b2+c2)-16b2c2

≥4bc·2bc-8b2c2=0,

从而f(a)≥0,原不等式得证.

2017年3月号问题

(来稿请注明出处——编者)

2351设a,b,c>0求证：

(陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心 安振平 712000)

2352设△ABC的三边a,b,c上的高分别为ha,hb,hc.外接圆和内切圆的半径分别为R，r.求证：

(四川成都金牛西林巷18号华鑫园A601 宿晓阳 610031)

(江西师范高等专科学校 王建荣 陈志钦 335000)

2354已知a,b,c是正数，求证：

(上海市宝山区宝林六村42号101 姜坤崇 201999)

2355已知正实数x,y,z满足x+y+z=xλ+yλ+zλ，求证：当λ<1时xxyyzz≥1，当λ>1时xxyyzz≤1.

(江苏省常熟市中学 查正开 215500)