抓住关键点，突出实效性
——《密铺》教学及思考

○承德县三沟学区中心校 王永成

在送教下乡研讨活动中，听了一位教师的《密铺》一课。

课前，教师和学生一起复习了多边形内角和以及正多边形每个内角的度数。上课伊始，教师通过铺地砖的生活情境引领学生认识了密铺的特点：无空隙、不重叠。然后引导学生操作探究，哪些图形能单独密铺，哪些不能。最后观察能单独密铺的图形，探究密铺的奥秘。可在练习环节时，有学生依然认为正六边形不能单独密铺，其原因是，用正六边形地砖铺地，四周没有铺整齐！

虽然这位教师的课上得行云流水，环环相扣，但一节课即将结束，有些学生还没有领会密铺的实质，这不能不引起我们的深思。

一、认识密铺

备课时，我们不仅要抓住知识的生长点、延伸点、重点、难点，更要抓住知识的关键点。就《密铺》一课而言，其关键点是密铺图形的拼接点。只有抓住这一点，才能有效地引导学生从生活经验上升到数学经验。如若不然，学生对密铺的认识就会受到生活经验的干扰，形成障碍，不利于后续学习。

师：出示正方形和正五边形地砖。如果是你家铺地面，你会选择哪种地砖？

生：选择正方形地砖。

师：为什么呀？

生：用正方形地砖铺地面无空隙，而用正五边形地砖铺地面有空隙。

师：那在上面再铺一层，行吗？

生：不行，那样不美观！

师：咱们铺地砖的时候要无空隙、不重叠。像咱们教室里的地砖都是正方形的，而卫生间的墙砖都是长方形的。这种无空隙、不重叠的铺法，在数学上我们就称之为“密铺”。

教师利用正方形、正五边形地砖铺地的生活情境，引导学生观察、对比、认识密铺。又让学生观察教室地砖、回忆卫生间墙砖来加深对密铺的认识。恰巧的是，不论是正方形单独密铺，还是长方形单独密铺，密铺后都会形成一个大正方形或大长方形，四周整齐。这种非本质属性干扰了学生对密铺特点的认识，致使练习时有学生依然认为四周不整齐就不是密铺。

教学建议

密铺图形的本质属性是拼接点处无空隙、不重叠。在认识密铺时，教师要引导学生抓住这一关键点，重点引导学生对比、观察拼接点处是否有空隙、不重叠，淡化四周是否整齐这一非本质属性，避免因生活经验带来的“后遗症”。学生初步认识了密铺的特点，对密铺的理解尚不深入，甚至还存有疑惑，这也正好为下一环节猜测、探究图形密铺，深入理解密铺做铺垫。

二、理解密铺

课堂教学时，我们只有抓住问题的关键，才能有效地突破重点、难点。就《密铺》一课而言，让学生理解密铺的特点，其关键是理解密铺图形的拼接点处无空隙、不重叠。在课堂教学中，我们要善于发现学生的不同见解，根据学生的不同见解进行质疑研讨，从而加深学生对密铺的理解，让学生真正经历数学化的过程。

师：出示正三角形、正六边形、正八边形。猜一猜，这些图形哪种能单独密铺，哪种不能？

生1：我认为全都能单独密铺。

生2：正三角形、正六边形能单独密铺。

生3：正八边形不能单独密铺。

师：以上只是我们的猜测，要想知道我们猜得对不对，应该怎么办？

生：实验验证。

师：把你们的验证结果展示给大家好吗？

生1：正三角形能够单独密铺。

（学生把密铺的正三角形贴到黑板上。）

生2：正六边形能够单独密铺。

（学生把密铺的正六边形贴到黑板上。）

生3：正八边形不能单独密铺。

（学生把不能密铺的正八边形贴到黑板上。）

师：想一想，有的图形能够单独密铺，有的图形却不能，这跟谁有关系呢？

生：好像跟角有关系。

教师让学生根据密铺的特点，猜测正三角形、正六边形、正八边形能否单独密铺，引导学生操作探究。经过实验验证，有学生得出结论：正三角形、正六边形能够单独密铺，而正八边形不能单独密铺。于是，教师便顺理成章地让学生思考：有的图形能够单独密铺，有的图形却不能，这跟谁有关系呢？表面看一帆风顺，毫无悬念，学生都理解了密铺。实际上，教师没有给其他学生机会，学生难以发出不同的声音，也正是这种表面的“平静”掩盖了课堂教学的实质。

教学建议

教学应该慢下来，给学生创造机会，多表达自己的见解，便会有意想不到的收获。学生认识了密铺的特点，知道了长方形、正方形都能单独密铺。通过动手操作，有学生认为正三角形、正六边形也能单独密铺，而正八边形不能单独密铺。这时，我们要停下来，听听学生的不同声音，教师要善于从中发现问题，“挑拨离间”，引起争议，让学生在争议、研讨中理解密铺的本质特征，进而进行课堂小结：判断一种图形能否单独密铺，要看拼接点处是否有空隙、不重叠。

三、探究密铺

课堂教学时，我们只有抓住关键点，才能把问题引向深入。就《密铺》一课而言，探究图形密铺的奥秘，其关键是观察拼接点处各角的度数。拼接点处各角的度数之和等于360°的多边形就能单独密铺，反之则不能。抓住这一关键引领学生观察、探究，让探索乐园真正成为学生学习的乐园。

师：观察能单独密铺的图形，小组合作交流的问题是“跟角到底有怎样的关系”。

生1：它们所组成的角都是360°。

师：它们都是谁呀，在哪里？

生1：到前面指着正三角形的拼接点。

师：请你把组成360°的角画出来好吗？

生1：在拼接点处画出周角。

师：还有不同意见吗？

生2：正六边形每个内角都是120°，3个内角正好是360°。

师：还有什么发现吗？

生3：正五边形不能密铺，3个内角的度数是324°，组不成360°。正八边形也不能密铺，它的内角也组不成360°。

师：是呀，经过观察、计算我们知道，一个图形的几个内角组成360°，这个图形就能单独密铺。那么请你判断一下：平行四边形能单独密铺吗？

生：不能。

学生猜测能单独密铺的图形跟角有关。于是，教师便让学生观察跟角有怎样的关系。课堂上，我们发现有的学生观察的是拼接点处各角，而有的学生观察的是多边形的内角。即便在老师引导下，总结出了一个图形的几个内角组成360°，这个图形就能单独密铺，但学生对密铺图形的奥秘还停留在正多边形。课堂上，教师没能有意识地引领学生观察拼接点处各角的度数，致使有些学生认为平行四边形不能单独密铺。

教学建议

探究多边形密铺的奥秘，既要抓住关键点，又要注重层次性。所谓抓住关键点，就要引导学生观察拼接点处各角的度数。所谓层次性就是先让学生观察正多边形，学生就会发现正多边形的几个内角能组成360°，这个正多边形就能单独密铺，否则就不能。然后进行拓展，我们知道长方形、正方形都能单独密铺，你能说出为什么吗？那平行四边形能单独密铺吗？学生就会利用平行四边形两角互补推断出平行四边形也能单独密铺。进而得出结论：拼接点处各角度数之和等于360°，这个图形就能单独密铺。