混沌理论基础及其应用

摘 要： 在混沌系统诞生之前，人们普遍认为世界上存在两种系统，第一种行为模式受到严格规律控制的系统，而第二种行为模式具有随机性，不可控制的系统，随着人类对自然的不断探索，越来越多的现象是上述两种系统解释不了的，所以，一种新的系统，貌似随机的确定性系统即混沌系统诞生了，随后，该种系统及其理论被应用于各个学科，各个领域，大到宇宙天体，小到虫口数量的研究，本文将给出混沌的相关概念，以及混沌在数学学科的几种定义，并给出混沌理论在虫口数量研究上的应用。

关键词： 混沌系统；虫口模型；混沌理论

一、 混沌的相关概念

混沌的本质：简单的个体遵循简单的规律，相互作用可以建立复杂和不可预测的行为。

混沌系统：有序和无序共存的系统，该系统内部具有很多不可预测的偶发事件，但决定各要素行为的基本规律确实能够分析和掌握的。

混沌理论：对不规则而又无法预测的现象及其过程的分析，其主导思想是宇宙本身处于混沌状态，在其中某一部分似乎并无关联的事件间的冲突会给宇宙的另一部分造成不可预测的结果。

二、 混沌的几种定义

1. 李 约克混沌

设（X，f）是紧致的，d是X的一个拓扑度量，设X0X不空，若存在不可数的集合SX0，满足

ⅰ）limsupd[fn（x），fn（y）]>0，x，y∈S，x≠y，

ⅱ）liminfd[fn（x），fn（y）]=0，x，y∈S，

则称f在X0上是在李 约克意义下混沌的。

2. R.L.Devaney混沌

设（X，f）是紧致的，如果f满足下面三个条件，

ⅰ）f是拓扑传递的；

ⅱ）P（f） =X，（P（f） 为f的周期点集）；

ⅲ）若存在δ>0，对x∈X和x的任意邻域Ux，y∈Ux，n>0，满足d[fn（x），fn（y）]>δ，即f对初值敏感依赖，则称f在R.L.Devaney意义下是混沌的。

3. 修改的R.L.Devaney混沌

ⅰ）f是拓扑传递的；

ⅱ）若存在δ>0，对x∈X和x的任意邻域Ux，y∈Ux，n>0，满足d[fn（x），fn（y）]>δ，即f對初值敏感依赖，则称f在修改的R.L.Devaney意义下是混沌的。

三、 混沌理论的应用

虫口模型

假设存在一种昆虫，在不产生世代更替的条件下，如果某一年虫卵的数量多于某一数值时，则虫口数量增加，使得其内部竞争力增大，由于食物和空间的有限，虫子之间互相厮杀，导致虫口数量减少，由于正面因素和负面因素的共同作用，通过数学建模，经过一系列的抽象与变换，最后的虫口方程

xn+1=λxn（1-xn） （1）

（1）中xn代表第n代相对虫口数量，xn+1代表第n+1代相对虫口数量（n=1，2，…），假设环境所能容纳的最多虫口数目为N0，第n代虫口数量为Nn，则xn= Nn N0 ，由上式知xn≤1，从而xn∈[0，1]，xn+1∈[0，1]，而λ为系统的控制参数，当λ>4时，虫口模型不是收敛的，此时xn>1，与实际条件相悖，故有λ∈[0，4]。

四、 结论

通过实验检验了混沌现象对初始条件的敏感性，证实了混沌状态下的系统对初始条件是极为敏感的，正如我们所熟知的蝴蝶效应一样，即使一个细小的行为，都可能带来一个如飓风般严重的结果，如今，混沌理论的应用极其广泛，政治，军事，经济，教育，科学研究等都能看到混沌理论的存在，所以，日后对其深入的研究无疑会给我们的生活带来重要影响。

参考文献：

[1]周作领.符号动力系统[M].上海科技出版社，1997（12）.

[2]朱云东，钟玉琢.混沌基本理论与教学设计发展的新方向[J].电化教育研究，1999（5）.

[3]张建树，菅忠，于学文.混沌生物学[M].科学出版社，2006（2）.

[4]刘宗华.混沌动力学基础及其应用[M].高等教育出版社，2006（1）.

作者简介：

刘凡，吉林省四平市，吉林省吉林师范大学。endprint