一道2017年浙江省高考数学题的竞赛背景分析

沈东芸+王向东

摘 要： 由于竞賽数学和高考制度的改革，高考数学与竞赛数学的联系越来越紧密，出现了很多以竞赛数学为背景命制的高考题.本文以2017年高考数学浙江卷压轴题——数列问题为例，探究其竞赛背景及二者的区别和联系，以及给出数列这一模块知识的教学启示.

关键词： 高考题；竞赛数学；数列

一、 引言

竞赛数学是指主要研究IMO试题、IMO候选题和各国各类竞赛题的体系，涉及几何、数论、代数、组合这几个模块的知识，重点考查学生的数学能力.近年来，一些竞赛试题已经渗透到高中数学试题中，特别是高考数学题.例如，笔者在2017年的数学高考卷中发现浙江卷文理科压轴题就有浓厚的竞赛数学背景.这道压轴题是有关数列的问题，数列问题作为高中数学和竞赛数学的重点问题，笔者认为有必要对高考题和竞赛题中的数学问题进行研究.因此，本文以2017年高考数学浙江卷压轴题为例，对其竞赛数学背景进行分析.

二、 问题及其背景分析

问题1 （2017·高考数学浙江卷理科第22题） 已知数列{an}满足：

x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈ N *）.证明：当n∈ N *时，

（1）0

（2）2xn+1-xn≤ xnxn+1 2 ；

（3） 1 2n-1 ≤xn≤ 1 2n-2 .

解析： （1）用数学归纳法证明.（2）略.

（3）由2xn+1-xn≤ xnxn+1 2 ，得 1 2n+1xn+1 ≥ 1 2nxn - 1 2 n+2.

将 1 2nxn ≥ 1 2n-1xn-1 - 1 2 n+1，...， 1 22x2 ≥ 1 21x1 - 1 2 2累加，得 1 xn ≥2n-2+ 1 2 >2n-2，

所以xn≤ 1 2n-2 ，右边得证.

又因为ln（1+xn+1）≤xn+1，所以xn=xn+1+ln（1+xn+1）≤2xn+1，即 xn+1 xn ≥ 1 2 ，

因此 xn x1 = xn xn-1 · xn-1 xn-2 ·…· x2 x1 ≥ 1 2n-1 ，左边得证。

问题2 （2011·全国高中数学联赛湖北省预赛） 已知数列

{an}满足：a1= 1 3 ，an+1=an+ a2n n2 ，n∈ N *.证明：对一切n∈ N *，有（1）an 1 2 - 1 4n .

解析： （1）由题意易知，an>0，故an+1-an= a2n n2 >0，从而an+1=an+ a2n n2 - 1 n2 .

当n≥2时，将 1 an - 1 an-1 >- 1 （n-1）2 ，…， 1 a2 - 1 a1 >- 1 12 这（n-1）个式子相加，得

1 an - 1 a1 >-2+ 1 n-1 ，从而 1 an >1+ 1 n-1 >1，因此an<1；

又a1= 1 3 <1，故an

（2）略.

比较以上问题1和问题2，从中可以看出两道试题的问题主干结构是一样的，只是给出的条件类型不一样；其中问题1的（1）、（3）小题就是取材于问题2的2个小题.虽然问题结构很相似，但是解法有所不同.例如在问题1的第（1）题中用数学归纳法证明0

三、 教学启示

数列问题既是重点也是难点，题目灵活多变，而且很多数列高考题都具有竞赛数学背景.近年来，浙江卷都是以数列问题作为压轴题，题目难度不小.因此，对高中数学教师在数列这一知识模块的教学提出了更高的要求，笔者认为：第一，高中教师要丰富自己的知识体系，要掌握竞赛数学中数列问题的类型、解法以及所涉及的数学思想方法，能将竞赛中和高考中的数列问题建立联系，也能看到他们的区别；第二，在教学进度和教学大纲允许的基础上，在教学过程中根据学生对知识点的理解情况，立足基础，逐渐渗透一些具有竞赛数学背景的数列综合性、探究性问题；第三，由于这类型问题难度系数大，因此教师要善于将这些数列问题进行归类，常用的数列性质、总结解题方法以及注重各种数学思想方法的培养.

作者简介：

沈东芸，王向东，广东省佛山市佛山科学技术学院数学与大数据学院。