关于《复变函数论》教学改革的实践研究

中原工学院理学院 王 鑫 焦成文

《复变函数论》是大学本科阶段数学专业的必修课程之一，其重要性不言而喻。20世纪以来，复变函数作为一个重要工具被广泛地应用在众多领域，如理论物理、工程力学、流体力学和弹性理论等，并已经渗透到数学的各个分支，如解析数论、代数数论、偏微分方程的初边值问题和代数几何理论等。近几十年来，我国数学教育工作者对《复变函数论》课程的教材编写和课程改革进行了很多有益的尝试和努力，然而教学内容和教学模式仍存在一些问题和弊端。为了适应新形势下的高等教育，实现培养理论基础知识和社会实践能力强的大学生的目标，有必要对这门课程的教学进行一些改革的尝试，下面从教学方法和课程建设两方面来谈下改革的内容和思路。

一、教学方法改革

《复变函数论》教材由四川大学数学学院钟玉泉教授编写，一般需要一学期共60学时完成，为了使学生能更好地理解和掌握教材中的知识点，需要对现有的教学方法作适当改进和调整。

1.类比教学。

《复变函数论》教材中的一些内容，如复数的概念、复数的四则运算、复数的模、复数的乘幂和方根是中学阶段学过的内容。还有一些内容，如复变函数的极限和连续、复变函数的导数和微分、复级数的敛散性判定和解析函数的泰勒展开等和《数学分析》相关的内容十分相近。因此，在讲授这些内容时，应该多与学生高中所学的这部分内容以及《数学分析》中对应的内容作类比，指出前后的承接关系和异同。

2.案例教学。

传统的教学模式都是重理论轻应用的填鸭式教育，学生往往忽略抽象的定理背后所隐藏的生动的实例，也因此大多数学习这门课的学生都会觉得书上的定理证明和概念公式太多，从而对课程的学习失去兴趣和信心。因此教师在讲课过程中应该多从例子入手，引出定理。例如，讲授柯西-黎曼方程时，可以先列举几个解析函数，验证它们满足柯西-黎曼方程，再通过几个反例，验证柯西-黎曼方程不成立，最后得到解析函数可微的必要条件，即柯西-黎曼方程。通过一系列正例尤其是反例，加深学生对定理的理解和运用。

二、课程建设改革

《复变函数论》的知识点大多都比较抽象，为使学生更加清晰地了解和认识这门学科，在教学方法改革的同时，需要进行相应的课程建设。

1.数学文化建设。

复变函数的研究起源于求解代数方程，当一元二次方程根的判别式小于零时，就会遇到复数开方的问题。16世纪意大利科学家卡尔丹在1545年求解三次代数方程时，产生了复数开方的思想。之后欧拉、高斯等给出了复数理论的系统描述。19世纪以后，柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯等形成了系统的复变函数理论研究体系 。可以说，从复变函数的起源到发展到成熟，再到最新的进展，整个课程都渗透着浓厚的数学文化。教学过程中，可以适当增加一些复变函数学科的发展历程和一些数学家的逸闻趣事，以激发学生学习该课程的兴趣。

2.精品课件建设。

在教学过程中，多媒体发挥了重要的作用，通过一些具体的图形展示，如若尔当曲线、支割线、积分曲线和积分区域等，可以使抽象的问题具体化和形象化，所以精品课件的建设显得非常重要。一个好的课件可以提升学生学习的兴趣和更加丰富地展现课程的魅力，使学生“看明白，听清楚，想透彻”。教师在教学过程中，可以结合自己的讲课经验，博采众长，搜集一些精美的图形图片和优美的数学证明，利用多媒体教学，以大大提高教学效果。

3.发散思维建设。

教学过程中应提倡“一题多解”，发散学生思维，使学生能举一反三，触类旁通。例如，求闭曲线上的复积分时，可以用柯西积分公式和留数定理两种方法给学生分别展示求解过程。证明解析函数的罗尔定理时，可以用解析函数的平均值定理和最大模原理来分别演示证明。还有，在证明代数学基本定理时，学生应该会运用刘维尔定理和鲁歇定理这两种方法来证明，以增加对各个定理和原理的融会贯通的能力。

总之，在复变函数的教学过程中，教师应改革传统的教学方法和加强课程建设，用新的教学理念指导，精心设计每一节课，在教学过程中让学生充分参与和享受课堂，使得学生能系统地掌握复变函数的理论方法。

[1]钟玉泉.复变函数论 [M].高等教育出版社，2013.

[2]贝尔.数学大师：从芝诺到庞加莱[M].上海科技教育出版社，2004.

[3]张继兵，高云柱.关于复变函数论课程教学改革的思考 [J].吉林农业科技学院学报，2013，22，111-113.

[4]黎延海.复变函数课程的教学改革与实践 [J].创新教育，2010，35，187.