初中生数学问题意识的培养

霍小雪

摘 要：问题是数学的心脏。整合教材，创设情境，还给学生独立思考和动手实践的时间，让学生敢问，想问，会问，乐问。追问设计，变式训练，培养学生的问题意识。

关键词：创新；动手操作；教材整合；变式训练；教学相长

2011版新课标指出创新意识的培养是现代教育教学的基本任务，而学生自己发现和提出问题是创新的基础。爱因斯坦曾说过：提出一个问题往往比解决一个问题更重要。数学家P.R.halmos也称：问题是数学的心脏。问起于疑，疑源于思。质疑，是创新，更是创造，它体现在我们数学教学的每一个过程中。下面重点以人教版“二次函数”的教学为例，分享一下课题组在教学中培养学生数学问题意识的一些想法、做法。

一、创设情境，引发提问

问题情境可以是生活的，也可以是数学的，能促进学生思维的发展，恰到好处地解决新问题而设置的情境就是好的问题情境。

1.实际生活中创设问题情境

生活中的很多现象看似平淡却隐含着数学道理，我们做老师的要培养学生的好奇心，让他们有兴趣来积极主动地观察周围的世界，这些存在于学生头脑中的直观的、不那么严密的体验是学生进一步探索数学的不竭源泉。例如，在学习二次函数概念时，让学生观察一组图片：篮球在空中飞行的路线，本地为数不少的拱桥图片，节假日常见的喷泉图片……你能想到它与数学有什么关系吗？它与函数有关系吗？学生从图象上判断是函数关系后，追问：是我们学过的一次函数吗？从而把学生引入积极探索阶段：这到底是一种什么函数？在不断的提问、质疑、解疑中完成学习任务。

2.数学应用中创设问题情境

初中生到了九年级，数学知识和能力已经有了一定的储备，有些问题情境的设置可以是纯数学的，运用得当一样精彩。例如，二次函数概念的教学，课本呈现的是上一章的几个实际应用题目，涉及面积计算、单循环比赛、增长率问题……学生很快从熟悉的题目中列出两个变量之间的关系式，因为学生已经有了函数和一次函数的学习基础，因此，老师可以直接追问：式子中两个变量之间的关系是函数吗？是一次函数吗？学生答：不是。进而从解析式的特征上让学生自己总结什么是二次函数，并举例说明。（学生可能会从解析式、图象、列表等不同角度去举例，教师要给予及时反馈和点评）概念的学习效果很好。

（1）教学相长，使学生敢问。教学过程中，要创设和谐的师生关系和民主的学习氛围。鼓励、肯定和引导学生提出的每一个问题。

（2）结论开放，使学生会问。例如：结合二次函数y=ax2+bx+c图象（图中显示，抛物线开口向下，与横轴的两个交点的横坐标 分别为-1和3，顶点的纵坐标为4），请你为同伴设计几个问题。学生给出的问题由易到难，许许多多。例如：①写出方程ax2+bx+c=0的根。②写出不等式ax2+bx+c>0的解集。③写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围。④若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围，等等。

（3）预设病题，使学生想问。呈现一个学生没有解出的问题，或者是题设、结论部分有毛病的题目，引发学生的提问、质疑，从而达到学习目的。例如：某种商品每件的进价为20元，调查表明，在某段时间内若以每件x元（26≤x≤30）出售，可卖出（600-20x）件，要使利润最大，则每件售价应定为多少元？同学小张的答案是30元，小王的答案是25元，组长认为这两个答案都有问题，你觉得呢？

（4）一题多解，使学生乐问。例如：已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

则：①抛物线的对称轴是 。

②当y<5时，x的取值范围是 。

③在此抛物线上有两点A（3，y1），B（4.5，y2），试比较y1和y2的大小。学生有计算解析式的，有利用二次函数对称性解题的，有利用图象解题的。在思维的碰撞中取长补短，共同进步。事实证明，老师在很多时候都会低估学生。只要我们有培养学生“问题意识”的意识，只要我们坚持还学生独立思考的时间和提问的权利，赏识学生提出的哪怕是不太完美的问题，学生的数学问题意识就能得到强化，学生也才有进一步发问的动力，各种奇思异想就会源源不断。

二、挖掘例题，引發提问

1.追问设计，培养学生的问题意识

例如，九年级上册课本51页探究3。这种探究课最好不要安排学生预习，我们把素材直接提供给学生。图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？

学生根据题中已知条件无法求解？师问：该怎么办？生：加辅助线。师追问：我们该怎么加辅助线？（已知的点与所求的点都在抛物线上）生：求出抛物线。

师追问：怎么求抛物线？

生：找已知点的坐标。师问：题中有已知点的坐标吗？生：没有。师再追问：怎么确定已知点的坐标？生：建立坐标系。师：该怎样建立坐标系？学生会凭直觉建立一个自己熟悉的坐标系。

方法1：以抛物线的顶点为原点，以对称轴为y轴建立坐标系。

方法2：以拱桥与水面的左端点为原点，以水面所在直线为x轴建立坐标系。

方法3：以拱桥与水面的右端点为原点，以水面所在直线为x轴建立坐标系。

方法4：以对称轴为y轴，以水面所在直线为x轴建立坐标系。

师追问：哪一种方法较为简单？

生：方法1。师追问：你还有其他方法吗？

生：以水面下降1米后的水面所在直线为x轴，以抛物线对称轴为y轴建立坐标系。再追问：还有吗？生：按照上面学生的思路，就有无数种方法。

学生质疑，解疑，大胆思考，小心求证，于无形中体会了数学建模的乐趣和意义。

2.变式训练，教给学生提问的方法

课本49页探究1：用总长为60米篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少时，矩形场地面积S最大？

变式1：用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

变式2：把墙长改为18米。

变式3：如果在平行墙的一边上开个小门（门的材料不是篱笆），门宽1米，其他条件不变，又该如何求解？

你能在此基础上也给同学们出个題目吗？

变式4：在垂直墙的一边上开个1米的小门（门的材料不是篱笆），其他条件不变。

变式5：垂直墙的一边有三道篱笆墙，把菜园分成两部分，分别种植两种蔬菜，中间的墙上开一个1米的小门（门的材料不是篱笆），在平行墙的一边上开个小门（门的材料不是篱笆），门宽1米，其他条件不变，又该如何求解？

变式6：此矩形的面积能是200m2吗？若能，请求出此矩形的长、宽各是多少？……一节课虽然就一个问题，但学生有思考，有猜想，有争执，有问题，有解答，不仅体会了二次函数在实际问题中的应用，更是使自己所学在数学课上得到了充分的应用。

三、整合教材，引发提问

二次函数第二单元“二次函数与一元二次方程”的关系中有这样一段话：

从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切，例如，已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程-x2+4x=3（即x2-4x+3=0），反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值。

因为数形结合是一种很重要的数学思想，为了进一步加强学生的识图能力，在此我整合了它和例题，引导学生用函数图象求方程x2-4x+3=0的解，深刻体会方程与函数间的关系。说出你的方法环节里绝大部分学生能答出课本上的那一种。即：画出二次函数y=x2-4x+3的图象，观察图象与x轴的交点的横坐标即可。师追问：你还有其他的方法吗？生：先画出二次函数y=x2-4x的图象，观察函数值为-3时对应的点的横坐标。这时候再追问：还有别的方法吗？生：先画出二次函数y=x2和y=-4x+3的图象，观察两个图象的交点坐标。还有方法吗？生自然会想到：画出二次函数y=x2+3和y=-4x的图象，观察两个图象的交点的横坐标，就得到方程x2-4x+3=0的解。从而使学生意识到，敢想的地方，有问题的地方，就会有发现，有惊喜。

四、动手操作，引发提问

波利亚指出，“学东西的最好方式是发现它。”“亲自发现能够在你脑海里留下一条小路，今后一旦需要，你便可以再次利用它。”在这一思想指导下，在学习二次函数的图象和性质时，我给了学生充分的时间去独立画图和思考，引导学生自己发现不同解析式下图象的特征和性质。例如，让学生在同一直角坐标系中画出函数y=x2和y=-x2，问：你发现了什么？（不给学生具体指明问题，以求给学生最大自由发现的空间。）

在同一直角坐标系中，画出函数y=-x2，y=- x2，y=-2x2和函数y=x2，y= x2，y=2x2的图象，你发现了什么？你能给自己的同学出一道题吗？比比谁的发现多，谁总结的更深刻。学生经历了列表、描点和连线的过程，从每一步的具体操作中去体会，去感知函数的性质：对称性，对称轴，开口方向，开口的大小，二次项系数对函数性质的影响，等等，这些都会一点一点地被学生亲自发现，比课本上丰富条理得多。等到研究y=ax2+k，y=a（x-h）2+k的性质时，学生基本能自己提出问题，自己尝试去解决，老师只需要在学生困惑的地方给予点拨即可。这样学习的结果，学生会归纳，会对比，会熟练地画二次函数的简易图，为实际应用打下了良好的基础。虽然多媒体演示方便快捷，但需要学生动手的地方，一定要慢下来，让学生亲自去实践，去思考，去总结。实践操作是学生形成问题意识的必要条件之一。本章的两个数学活动更是以问题为载体，引导学生观察、猜想、实践、验证，既锻炼了学生的动手能力，更锻炼了学生的思维，让学生充分体会到了二次函数在生活和数学中的应用。只要给学生提供一个平台，他一定会给我们带来惊喜。作为老师，尽量让学生在现有的条件下亲自发现尽可能多的东西，你会发现学生的问题会越来越多，他们学习数学的兴趣会越来越高，学习方法也越来越灵活有效。

数学教学中要注意遵循观察、猜想，操作、实验，推理、验证的程序，于潜移默化中培养学生的问题意识。具体做法如下：①教师采用“问题化方式”进行备课。②设计“问题化”学案，让学生在自主学习中培养问题意识。③设计互动开放的课堂，让学生的思维进行碰撞，从而培养孩子们的问题意识。④设计开放性的作业，精选条件开放性的习题，培养学生的问题意识。⑤设计综合性的数学实践活动，让学生在做中培养问题意识。

每一章节，每一单元的教学，只要我们的老师意识到培养学生数学问题意识的重要性，只要我们还给学生独立思考和动手实践的时间，只要我们做老师的多用心去经营每一个课时的教学，你就能真正体会到什么叫教学相长，什么叫青出于蓝。你就会发现我们的学生不是问题越来越少，而是越来越多，越来越好。随着问题意识的增强，他们的思维在发展，分析解决问题的能力也越来越高超。

参考文献：

[1]纪尧兵.如何在数学探究教学中培养学生的问题意识[J].教学与管理，2007.

[2]甘华鸣.创新的策略[M].北京：红旗出版社，1999.

[3]王泉生.论学生数学意识的培养[J].中学教研（数学），2005.

[4]赵晓雄.数学教学中培养学生问题意识[J].数学教学通讯，2006.

[5]林仙.数学新课程标准下学生问题意识的培养[J].红河学院学报，2006.

注：本文系河南省农村学校应用性教育科研2016年度课题《主题式推进城乡联盟校数学教师素养提升有效策略研究》论文，课题批准号：16-HJYY-070。

编辑 赵飞飞